Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^pi / 4 cos ^2(x) d x
(Dica. cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y e sen^2 x+cos ^2 x=1 )

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida integral0^pi/4cos^2(x),dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas, e para facilitar vamos usar identidades trigonométricas: a fórmula de soma de ângulos cos(x+y) e a relação pitagórica sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Primeiro a gente deriva a identidade do cosseno do dobro do ângulo usando cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y:
cos(2x)=cos(x+x)=cos^2x-sin^2x
Aplicando sin^2x=1-cos^2x na expressão acima, obtemos:
cos(2x)=2cos^2x-1
Isolando cos^2x vem a fórmula de meio ângulo:
cos^2x=1+cos(2x)2

Passo 3

Agora substituímos na integral e achamos a primitiva:
integral0^pi/4cos^2x,dx =integral0^pi/41+cos(2x)2,dx =12integral0^pi/4dx+12integral0^pi/4cos(2x),dx
A primitiva de 1 é x e a de cos(2x) é sin(2x)2, logo:
integralcos^2x,dx=12x+12cdotsin(2x)2= x2+sin(2x)4+C

Passo 4

Por fim, a gente avalia nos limites de 0 a pi/4:
gl( x2+sin(2x)4gr)|0^pi/4 =l(pi/42+sin(pi/2)4r)-l(0+sin04r) =pi8+14

Resposta

pi8+14

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