Calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi6 sen^2 x cdot cos x cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até π/6 de sen²x⋅cos x dx. O conteúdo principal é integração por substituição, já que temos sen x e sua derivada cos x no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sen x
desde que du = cos x dx. Quando x=0, u=sen 0=0; quando x=π/6, u=sen(π/6)=1/2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
∫₀^{π/6} sen²x⋅cos x dx = ∫₀^{1/2} u² du.

Passo 4

Integramos u² e aplicamos os limites:
∫ u² du = u³/3,
ilustrando que
∫₀^{1/2} u² du = [u³/3]₀^{1/2} = (1/2)³/3 − 0 = 1/8 ⋅ 1/3 = 1/24.

Resposta

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