Monte a integral para calcular o volume do sólido E :
E é o cilindro cuja base é região no plano x y que está dentro da cardióide r=1+cos theta e fora da circunferência r=1, e cujo topo está no plano z=4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é como um “cilindro” com uma base especial. A base está no plano e é a região que fica dentro da cardióide e fora da circunferência . O topo desse sólido está no plano . Vamos usar cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras no plano . A cardióide e a circunferência . Precisamos encontrar a área que está dentro da cardióide mas fora da circunferência. Isso vai ser nossa região de integração.

Passo 3

Para configurar a integral, vamos usar coordenadas polares porque as figuras são mais fáceis de trabalhar nesse sistema. Em coordenadas polares, o elemento de área é . O volume será a área dessa região multiplicada pela altura do sólido, que é 4.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração para e . Observando e , vemos que a cardióide está sempre fora da circunferência , então vai de 1 a .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de que descrevem toda a região. A cardióide completa varia de a . Portanto, vai de 0 a .

Passo 6

Com tudo isso, montamos a integral dupla para a área e depois multiplicamos pela altura para obter o volume. A integral fica assim:
V = integral0^2pi integral1^1 + cos theta r , dr , dtheta times 4

Resposta

O volume do sólido V = 4 integral0^2pi integral1^1 + cos theta r , dr , dtheta é dado por:

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