Monte a integral para calcular o volume do sólido
:
é o cilindro cuja base é região no plano
que está dentro da cardióide
e fora da circunferência
, e cujo topo está no plano
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é como um “cilindro” com uma base especial. A base está no plano
e é a região que fica dentro da cardióide
e fora da circunferência
. O topo desse sólido está no plano
. Vamos usar cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras no plano
. A cardióide
e a circunferência
. Precisamos encontrar a área que está dentro da cardióide mas fora da circunferência. Isso vai ser nossa região de integração.
Passo 3
Para configurar a integral, vamos usar coordenadas polares porque as figuras são mais fáceis de trabalhar nesse sistema. Em coordenadas polares, o elemento de área é
. O volume será a área dessa região multiplicada pela altura do sólido, que é 4.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração para
e
. Observando
e
, vemos que a cardióide está sempre fora da circunferência
, então
vai de 1 a
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
que descrevem toda a região. A cardióide completa varia de
a
. Portanto,
vai de 0 a
.
Passo 6
Com tudo isso, montamos a integral dupla para a área e depois multiplicamos pela altura para obter o volume. A integral fica assim:
Resposta
O volume do sólido
é dado por: