Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar uma cônica dada por uma equação do segundo grau e indicar seus elementos principais (vértices, focos, centro e assíntotas). O conteúdo aqui é Geometria Analítica de elipses, e vamos precisar saber como colocar a equação na forma padrão e extrair daí o centro, os semi-eixos e os focos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de uma elipse. Temos
que fica
Daí reconhecemos que o centro da elipse é o ponto que zera os termos quadráticos deslocados, ou seja,
Passo 3
Agora, comparamos os denominadores para determinar os semi-eixos. O maior denominador corresponde ao semi-eixo maior (a) e o menor ao semi-eixo menor (b). Como
temos
e, como o 9 está junto a
, o eixo maior é vertical. Com o centro e os semi-eixos, encontramos os vértices e os co-vértices:
- Vértices (deslocamento ±a no eixo maior):
- Co-vértices (deslocamento ±b no eixo menor):
Passo 4
Para os focos, usamos
Os focos ficam igualmente no eixo maior, a uma distância c do centro:
Passo 5
Uma elipse não possui assíntotas. Pronto: basta marcar no plano o centro, desenhar os eixos de comprimento 2a e 2b e traçar a curva suave que passa pelos vértices.
Resposta
Centro: (0,-2); Vértices: (0,1) e (0,-5); Co-vértices: (2,-2) e (-2,-2); Focos: (0,-2+√5) e (0,-2-√5); sem assíntotas.