Esboce o gráfico das seguintes cônicas, indicando seus vértices, focos, centros (quando for o caso) e assíntotas (quando for o caso).
e) x^24+(y+2)^29-1=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar uma cônica dada por uma equação do segundo grau e indicar seus elementos principais (vértices, focos, centro e assíntotas). O conteúdo aqui é Geometria Analítica de elipses, e vamos precisar saber como colocar a equação na forma padrão e extrair daí o centro, os semi-eixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de uma elipse. Temos
x^24+(y+2)^29-1=0
que fica
x^24+(y+2)^29=1
Daí reconhecemos que o centro da elipse é o ponto que zera os termos quadráticos deslocados, ou seja,
(h,k)=(0,-2)

Passo 3

Agora, comparamos os denominadores para determinar os semi-eixos. O maior denominador corresponde ao semi-eixo maior (a) e o menor ao semi-eixo menor (b). Como
a^2=9, b^2=4,
temos
a=3, b=2,
e, como o 9 está junto a (y+2)^2, o eixo maior é vertical. Com o centro e os semi-eixos, encontramos os vértices e os co-vértices:
  • Vértices (deslocamento ±a no eixo maior):
(0,-2+3)=(0,1),(0,-2-3)=(0,-5)
  • Co-vértices (deslocamento ±b no eixo menor):
(0±2,-2)=(2,-2),;(-2,-2)

Passo 4

Para os focos, usamos
c^2=a^2-b^2=9-4=5Rightarrow c=raiz5
Os focos ficam igualmente no eixo maior, a uma distância c do centro:
(0,-2+raiz5),(0,-2-raiz5)

Passo 5

Uma elipse não possui assíntotas. Pronto: basta marcar no plano o centro, desenhar os eixos de comprimento 2a e 2b e traçar a curva suave que passa pelos vértices.

Resposta

Centro: (0,-2); Vértices: (0,1) e (0,-5); Co-vértices: (2,-2) e (-2,-2); Focos: (0,-2+√5) e (0,-2-√5); sem assíntotas.

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