Calcule as integrais definidas abaixo. Justifique.
integral2^3 x^2+x+1x^2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função racional, ou seja, de grau do numerador igual ao do denominador. Isso cai em Calculo Integral: vamos usar divisão polinomial seguida de decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Começamos dividindo o polinômio:
Nós temos
x^2 + x + 1x^2 - x =1 + (x^2 + x + 1) - (x^2 - x)x^2 - x =1 + 2x + 1x(x-1)

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de 2x + 1x(x-1). Assumimos
2x + 1x(x-1) = Ax + Bx-1
Multiplicando pelos fatores comuns:
2x + 1 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A
Igualando coeficientes obtemos
A + B = 2, - A = 1,
logo A = -1 e B = 3. Portanto a integral vira
integral l(1 - 1x + 3x-1r)dx

Passo 4

Integramos cada termo separadamente usando integral1,dx = x e integral 1x-adx = ln|x-a|:
integral dx = x, integral -1xdx = -ln|x|, integral 3x-1dx = 3ln|x-1|
Logo a primitiva geral é
F(x) = x - ln|x| + 3ln|x-1| + C

Passo 5

Agora avaliamos nos limites de 2 a 3:
F(3) - F(2) = l(3 - ln3 + 3ln2r) - l(2 - ln2 + 3ln1r) = 1 - ln3 + 4ln2 = 1 + 4ln2 - ln3

Resposta

1 + 4\ln2 - \ln3

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