Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido do 1^0 octante delimitado pelos planos coordenados, pelo paraboloide z=x^2+y^2+1 e pelo plano 2 x+y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) e que é limitado pelos planos coordenados, pelo paraboloide z = x^2 + y^2 + 1 e pelo plano 2x + y = 2. Para resolver isso, vamos usar uma integral dupla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide z = x^2 + y^2 + 1 é uma superfície que se abre para cima e está deslocada 1 unidade acima do plano z = 0. O plano 2x + y = 2 é uma reta no plano xy que vai interceptar os eixos x e y. Como estamos no primeiro octante, só vamos considerar x >= 0 e y >= 0.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de integração para x e y. Para isso, precisamos saber onde o plano 2x + y = 2 intercepta os eixos:
  • Quando x = 0, y = 2.
  • Quando y = 0, x = 1.
Então, nossa região no plano xy vai de x = 0 a x = 1, e para cada x, y varia de 0 a 2 - 2x.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. O volume V pode ser calculado integrando a diferença entre a função que representa o topo do sólido e a função que representa a base. Aqui, o topo é o paraboloide z = x^2 + y^2 + 1 e a base é o plano z = 0 (os planos coordenados). Então, temos:
V = integralx=0^1 integraly=0^2-2x (x^2 + y^2 + 1) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^2-2x (x^2 + y^2 + 1) , dy = x^2y + y^33 + y |0^2-2x
Substituindo os limites:
= x^2(2-2x) + (2-2x)^33 + (2-2x) - 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. x^2(2-2x) = 2x^2 - 2x^3
  2. (2-2x)^3 = 8 - 24x + 24x^2 - 8x^3, então (2-2x)^33 = 83 - 8x + 8x^2 - 8x^33
  3. 2 - 2x
Somando todos os termos:
2x^2 - 2x^3 + 83 - 8x + 8x^2 - 8x^33 + 2 - 2x
Vamos simplificar:
(2x^2 + 8x^2) + (-2x^3 - 8x^33) + (83 + 2) + (-8x - 2x)
= 10x^2 - 14x^33 + 143 - 10x

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
V = integral0^1 (10x^2 - 14x^33 + 143 - 10x) , dx
Integrando termo a termo:
= 10x^33 - 14x^412 + 14x3 - 5x^2 |0^1
Simplificando:
= 103 - 1412 + 143 - 5
= 103 - 76 + 143 - 5
= (103 + 143) - 76 - 5
= 243 - 76 - 5
= 8 - 76 - 5
= 3 - 76
= 186 - 76 = 116

Resposta

O volume do sólido é 116 unidades cúbicas.

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