Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido do octante delimitado pelos planos coordenados, pelo paraboloide e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) e que é limitado pelos planos coordenados, pelo paraboloide e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar uma integral dupla, que é uma ferramenta matemática para calcular volumes em regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide é uma superfície que se abre para cima e está deslocada 1 unidade acima do plano . O plano é uma reta no plano que vai interceptar os eixos e . Como estamos no primeiro octante, só vamos considerar e .
Passo 3
Vamos encontrar os limites de integração para e . Para isso, precisamos saber onde o plano intercepta os eixos:
Quando , .
Quando , .
Então, nossa região no plano vai de a , e para cada , varia de a .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. O volume pode ser calculado integrando a diferença entre a função que representa o topo do sólido e a função que representa a base. Aqui, o topo é o paraboloide e a base é o plano (os planos coordenados). Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :