Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
[ I = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{y}^{\sqrt{\pi}} \cos!\left(\frac{x^{2}}{2}\right) ,dx,dy.
Esse problema envolve integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração. Vamos precisar identificar a região de integração, inverter a ordem, integrar em y e depois usar substituição para resolver a integral em x.
Esse problema envolve integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração. Vamos precisar identificar a região de integração, inverter a ordem, integrar em y e depois usar substituição para resolver a integral em x.
Passo 2
A região dada por 0 ≤ y ≤ √π e y ≤ x ≤ √π pode ser descrita como D = { (x,y) | 0 ≤ y ≤ x ≤ √π }. Invertendo a ordem de integração, x varia de 0 a √π e, para cada x, y varia de 0 a x.
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini com a nova ordem, temos
Logo
Passo 4
Para calcular
façamos a substituição t = x²/2, de onde dt = x dx. Quando x = 0, t = 0; quando x = √π, t = π/2. A integral fica
Passo 5
Basta agora integrar
Resposta
1