integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^22) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
[ I = \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{y}^{\sqrt{\pi}} \cos!\left(\frac{x^{2}}{2}\right) ,dx,dy.
Esse problema envolve integrais duplas e aplicação do Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração. Vamos precisar identificar a região de integração, inverter a ordem, integrar em y e depois usar substituição para resolver a integral em x.

Passo 2

A região dada por 0 ≤ y ≤ √π e y ≤ x ≤ √π pode ser descrita como D = { (x,y) | 0 ≤ y ≤ x ≤ √π }. Invertendo a ordem de integração, x varia de 0 a √π e, para cada x, y varia de 0 a x.

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini com a nova ordem, temos
Logo
I = integral0^raizpi integral0^x cos!(x^22) ,dy,dx Como o integrando não depende de y, a integral interna é [ integral0^x dy = x

Passo 4

Para calcular
integral0^raizpi x,cos!(x^22) dx,
façamos a substituição t = x²/2, de onde dt = x dx. Quando x = 0, t = 0; quando x = √π, t = π/2. A integral fica
integral0^pi/2 cos t ,dt

Passo 5

Basta agora integrar
integral0^pi/2 cos t ,dt = sin t |0^pi/2 = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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