Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
Passo 1
O enunciado dá três curvas e pede para esboçar a região que elas englobam e encontrar a área dessa região. As curvas fornecidas são (vou escrever cada uma isolada):
As perguntas explícitas são:
- Esboçar a região limitada por essas três curvas.
- Calcular a área dessa região.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A primeira equação é a reta
. - A segunda é a cúbica
. - A terceira é a reta
.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas — isso nos dá os vértices da região. Interseções significam resolver dois sistemas onde se igualam as expressões de
.
Interseção entre
e
. Igualando:
Procuramos raízes inteiras por tentativa: testar
:
logo
é raiz. Fazendo divisão sintética ou fatoração,
O polinômio quadrático
tem discriminante
, portanto não tem raízes reais. Assim existe exatamente uma interseção real, em
Ponto:
.
Passo 3
Interseção entre
e
. Igualando:
As soluções reais são
(já que
para todo
). Com
,
. Ponto:
.
Passo 4
Interseção entre
e
. Igualando:
Com
,
(confere também em
). Ponto:
.
Agora temos os três pontos de interseção reais:
. Esses serão os vértices da região fechada.
Passo 5
Antes de integrar, vamos entender a ordem das curvas (qual é a “superior” e qual é a “inferior”) em cada intervalo de
entre os pontos de interseção. Isso é necessário porque a área por integração é dada, quando integrado em
, por integrar a função superior menos a inferior.
Listando as funções:
Observando os pontos:
- Entre
e a reta passa pelos pontos e e fica acima das outras curvas nesta faixa (verificação pontual: em , é maior que e ). - Entre
e a curva de baixo é a reta (em , por exemplo, enquanto , logo a cúbica está muito abaixo). - Entre
e a curva de baixo é a cúbica (pois a cúbica sobe de 0 para 8, mas para tem valores abaixo da reta ).
Portanto a região fechada é limitada por:
- a reta
de (parte superior), - a reta
de (parte inferior esquerda), - a cúbica
de (parte inferior direita).
Geometricamente, isso forma uma região com vértices
seguindo as curvas descritas.
Passo 6
Fórmula de área por integração em
: se uma região é limitada acima por
e abaixo por
em um intervalo
, então a área é
Aqui vamos somar duas integrais, pois a função inferior muda em
:
Passo 7
Calcule a primeira integral:
Antiderivada:
Avaliar de
a
:
Calculemos a parte em
:
Assim a primeira integral vale
Passo 8
Calcule a segunda integral:
Antiderivada:
Avaliar de
a
:
Calculando:
então
A segunda integral vale
.
Passo 9
Somando as duas parcelas de área: