Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área.
y-x=6, y-x^{3}=0,2 y+x=0

Passo 1

O enunciado dá três curvas e pede para esboçar a região que elas englobam e encontrar a área dessa região. As curvas fornecidas são (vou escrever cada uma isolada):
y - x = 6, \qquad y - x^{3} = 0, \qquad 2y + x = 0.
As perguntas explícitas são:
  • Esboçar a região limitada por essas três curvas.
  • Calcular a área dessa região.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A primeira equação é a reta \;y = x + 6.
  • A segunda é a cúbica \;y = x^{3}.
  • A terceira é a reta \;y = -\dfrac{x}{2}.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de curvas — isso nos dá os vértices da região. Interseções significam resolver dois sistemas onde se igualam as expressões de y.
Interseção entre \;y = x+6 e \;y = x^{3}. Igualando:
x^{3} = x + 6 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} - x - 6 = 0.
Procuramos raízes inteiras por tentativa: testar x=2:
2^{3}-2-6 = 8-2-6 = 0,
logo x=2 é raiz. Fazendo divisão sintética ou fatoração,
x^{3}-x-6 = (x-2)(x^{2}+2x+3).
O polinômio quadrático x^{2}+2x+3 tem discriminante \Delta = 4-12 = -8 < 0, portanto não tem raízes reais. Assim existe exatamente uma interseção real, em
x=2,\qquad y = 2^{3} = 8.
Ponto: (2,8).

Passo 3

Interseção entre \;y = x^{3} e \;y = -\dfrac{x}{2}. Igualando:
x^{3} = -\dfrac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{3} + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(2x^{2}+1)=0.
As soluções reais são x=0 (já que 2x^{2}+1>0 para todo x). Com x=0, y=0. Ponto: (0,0).

Passo 4

Interseção entre \;y = x+6 e \;y = -\dfrac{x}{2}. Igualando:
x + 6 = -\dfrac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad x + \dfrac{x}{2} = -6 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{3x}{2} = -6 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.
Com x=-4, y = -\dfrac{-4}{2}=2 (confere também em y=x+6). Ponto: (-4,2).
Agora temos os três pontos de interseção reais: (-4,2),\\ (0,0),\\ (2,8). Esses serão os vértices da região fechada.

Passo 5

Antes de integrar, vamos entender a ordem das curvas (qual é a “superior” e qual é a “inferior”) em cada intervalo de x entre os pontos de interseção. Isso é necessário porque a área por integração é dada, quando integrado em x, por integrar a função superior menos a inferior.
Listando as funções:
\text{reta superior candidata: } y_{1}(x)=x+6, \qquad \text{cúbica: } y_{2}(x)=x^{3}, \qquad \text{reta inferior na parte esquerda: } y_{3}(x)=-\dfrac{x}{2}.ú
Observando os pontos:
  • Entre x=-4 e x=2 a reta y=x+6 passa pelos pontos (-4,2) e (2,8) e fica acima das outras curvas nesta faixa (verificação pontual: em x=0, y_{1}(0)=6 é maior que y_{2}(0)=0 e y_{3}(0)=0).
  • Entre x=-4 e x=0 a curva de baixo é a reta y=-\dfrac{x}{2} (em x=-2, por exemplo, y_{3}=1 enquanto y_{2}=(-2)^{3}=-8, logo a cúbica está muito abaixo).
  • Entre x=0 e x=2 a curva de baixo é a cúbica y=x^{3} (pois a cúbica sobe de 0 para 8, mas para 0<x<2 tem valores abaixo da reta y=x+6).
Portanto a região fechada é limitada por:
  • a reta y=x+6 de -4\le x\le 2 (parte superior),
  • a reta y=-\dfrac{x}{2} de -4\le x\le 0 (parte inferior esquerda),
  • a cúbica y=x^{3} de 0\le x\le 2 (parte inferior direita).
Geometricamente, isso forma uma região com vértices (-4,2)\to(0,0)\to(2,8) seguindo as curvas descritas.

Passo 6

Fórmula de área por integração em x: se uma região é limitada acima por y_{\text{top}}(x) e abaixo por y_{\text{bot}}(x) em um intervalo [a,b], então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui vamos somar duas integrais, pois a função inferior muda em x=0:
\text{Área}=\int_{-4}^{0}\bigl((x+6)-\bigl(-\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{2}\bigl((x+6)-x^{3}\bigr)\,dx.Á

Passo 7

Calcule a primeira integral:
\int_{-4}^{0}\left((x+6)+\tfrac{x}{2}\right)\,dx = \int_{-4}^{0}\left(\tfrac{3x}{2}+6\right)\,dx.
Antiderivada:
\int \left(\tfrac{3x}{2}+6\right)\,dx = \tfrac{3}{4}x^{2}+6x.
Avaliar de -4 a 0:
\left[\tfrac{3}{4}x^{2}+6x\right]_{-4}^{0} = \left(0\right) - \left(\tfrac{3}{4}\cdot(-4)^{2}+6\cdot(-4)\right).
Calculemos a parte em -4:
\tfrac{3}{4}\cdot 16 + 6\cdot(-4) = 12 - 24 = -12.
Assim a primeira integral vale
0 - (-12) = 12.

Passo 8

Calcule a segunda integral:
\int_{0}^{2}\bigl(x+6-x^{3}\bigr)\,dx.
Antiderivada:
\int \bigl(x+6-x^{3}\bigr)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2}+6x-\tfrac{1}{4}x^{4}.
Avaliar de 0 a 2:
\left[\tfrac{1}{2}x^{2}+6x-\tfrac{1}{4}x^{4}\right]_{0}^{2} = \left(\tfrac{1}{2}\cdot 4 + 6\cdot 2 - \tfrac{1}{4}\cdot 16\right) - 0.
Calculando:
\tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2,\quad 6\cdot 2 = 12,\quad \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 4,
então
2 + 12 - 4 = 10.
A segunda integral vale 10.

Passo 9

Somando as duas parcelas de área:
\text{Área total} = 12 + 10 = 22.Á

Resposta

\,22\,

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