Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
\int_{0}^{a} \frac{d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad a>0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{a} \frac{d x}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} com a>0.
  • Informações relevantes que temos:
    • O integrando é \dfrac{1}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}.
    • O intervalo de integração é de x=0 até x=a.
  • Então precisamos encontrar uma primitiva adequada e avaliar entre 0 e a, ou usar uma substituição que torne a integral elementar.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Um método natural aqui é a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Por quê? Porque aparece a soma a^{2}+x^{2}, e a identidade trigonométrica 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\thetatransforma a^{2}+x^{2} em a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta, que é fácil de elevar a potências e simplificar. Essa é uma técnica padrão para integrais com a^{2}+x^{2}.
  • Alternativa rápida (apenas observação): existe uma primitiva do tipo racional em x e \sqrt{a^{2}+x^{2}}, mas vamos seguir a substituição trigonométrica passo a passo para aprender o procedimento.

Passo 3

Aplicando a substituição x=a\tan\theta:
  • Definir x=a\tan\theta.
  • Diferencial: dx=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • Transformação do termo dentro do parêntese: a^{2}+x^{2}=a^{2}+a^{2}\tan^{2}\theta=a^{2}\left(1+\tan^{2}\theta\right)=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Então \left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=\left(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{\frac{3}{2}}=a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 4

Substituir tudo na integral e mudar os limites:
  • Quando x=0, \tan\theta=0 implica \theta=0.
  • Quando x=a, \tan\theta=1 implica \theta=\arctan 1=\dfrac{\pi}{4}.
  • Substituindo dx e o denominador:
    \frac{dx}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{3/2}}=\frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} =\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta =\frac{1}{a^{2}}\cos\theta\,d\theta,
    porque \dfrac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta}=\dfrac{1}{\operatorname{sec}\theta}=\cos\theta.
  • Portanto a integral definida vira
    \int_{0}^{a}\frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}} =\frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Integrando em \theta e avaliando os limites:
  • A integral de \cos\theta é \sin\theta. Lembrete rápido: a derivada de \sin\theta é \cos\theta, por isso \int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta.
  • Então \frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{\pi/4}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{a^{2}}\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{a^{2}}\bigl(\sin\tfrac{\pi}{4}-\sin 0\bigr).
  • Como \sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin 0=0, obtemos \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2a^{2}}.
  • Observação de simplificação: \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, então também se pode escrever o resultado como \dfrac{1}{a^{2}\sqrt{2}}.

Passo 6

Verificação alternativa (curto atalho, sem trigonometria):
  • Uma primitiva é F(x)=\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}.
  • Verificando rapidamente a derivada (apenas para confirmar): F'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{a^{2}(a^{2}+x^{2})^{1/2}}\right) =\frac{1}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}},como se pode checar usando a regra do produto/quotiente. Avaliando F entre 0 e a F(a)-F(0)=\frac{a}{a^{2}\sqrt{2a^{2}}}-0=\frac{1}{a^{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2a^{2}},coincidindo com o resultado anterior. Isso confirma que está correto.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2a^{2}}

Exercícios relacionados