Calcule as integrais definidas. (Este exercício é para relembrar os seguintes métodos de integração: integração trigonométrica, substituição trigonométrica e frações parciais).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral definida
com . - Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até .
- O integrando é
- Então precisamos encontrar uma primitiva adequada e avaliar entre
e , ou usar uma substituição que torne a integral elementar.
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Um método natural aqui é a substituição trigonométrica
. Por quê? Porque aparece a soma , e a identidade trigonométrica transforma em , que é fácil de elevar a potências e simplificar. Essa é uma técnica padrão para integrais com . - Alternativa rápida (apenas observação): existe uma primitiva do tipo racional em
e , mas vamos seguir a substituição trigonométrica passo a passo para aprender o procedimento.
Passo 3
Aplicando a substituição
:
- Definir
- Diferencial:
- Transformação do termo dentro do parêntese:
- Então
Passo 4
Substituir tudo na integral e mudar os limites:
-
Quando
, implica . -
Quando
, implica . -
Substituindo
e o denominador: porque. -
Portanto a integral definida vira
Passo 5
Integrando em
e avaliando os limites:
- A integral de
é . Lembrete rápido: a derivada de é , por isso . - Então
- Como
e , obtemos - Observação de simplificação:
, então também se pode escrever o resultado como .
Passo 6
Verificação alternativa (curto atalho, sem trigonometria):
- Uma primitiva é
- Verificando rapidamente a derivada (apenas para confirmar):
como se pode checar usando a regra do produto/quotiente. Avaliando entre e dá coincidindo com o resultado anterior. Isso confirma que está correto.