Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{3} \frac{2}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3} \frac{2}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{2}{x}.
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 3 (superior).
  • Precisamos fornecer o valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Usar a propriedade de linearidade da integral: uma constante multiplicativa pode ser retirada do sinal de integral. Isso vem da definição da integral como limite de somas — multiplicar a função por uma constante multiplica cada parcela da soma pela mesma constante, então a integral fica multiplicada por essa constante.
Aplicando isso aqui:
\int_{1}^{3} \frac{2}{x}\,dx = 2\int_{1}^{3} \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x}. A função cujo derivada é \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural. Especificamente,
\frac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\frac{1}{x}.
Explicando: a derivada de \ln x para x>0 1/x. Escrevemos \ln|x| para cobrir também x<0, mas no nosso intervalo [1,3] os x são positivos, então podemos usar \ln x sem problema.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: para uma primitiva F(x) de f(x),
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui F(x)=\ln|x|. Então, usando o passo 2:
\int_{1}^{3} \frac{2}{x}\,dx = 2\left[\ln|x|\right]_{1}^{3} = 2\big(\ln|3|-\ln|1|\big).
Observação útil: \ln|1|=\ln 1=0.

Passo 5

Fazendo a simplificação final (apenas algebra básica com logaritmos e o fato \ln 1=0), obtemos o valor da integral como uma expressão simples que será apresentada na seção de resposta final.

Resposta

2\ln 3

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