Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Precisamos fornecer o valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Usar a propriedade de linearidade da integral: uma constante multiplicativa pode ser retirada do sinal de integral. Isso vem da definição da integral como limite de somas — multiplicar a função por uma constante multiplica cada parcela da soma pela mesma constante, então a integral fica multiplicada por essa constante.
Aplicando isso aqui:
Passo 3
Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
. A função cujo derivada é
é o logaritmo natural. Especificamente,
Explicando: a derivada de
para
dá
. Escrevemos
para cobrir também
, mas no nosso intervalo
os
são positivos, então podemos usar
sem problema.
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: para uma primitiva
de
,
Aqui
. Então, usando o passo 2:
Observação útil:
.
Passo 5
Fazendo a simplificação final (apenas algebra básica com logaritmos e o fato
), obtemos o valor da integral como uma expressão simples que será apresentada na seção de resposta final.