Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{-\pi / 3}^{\pi / 3}(4 \sin \theta-3 \cos \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(4\sin\theta-3\cos\theta\bigr)\,d\theta.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é a função f(\theta)=4\sin\theta-3\cos\theta.
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de -\pi/3 a \pi/3.

Passo 2

Vamos aprender um fato muito útil sobre funções pares e ímpares (é uma daquelas armas secretas para prova rápida):
  • Uma função g é par se, para todo x, vale g(-x)=g(x).
  • Uma função h é ímpar se, para todo x, vale h(-x)=-h(x).
Propriedades de integrais em intervalos simétricos [-a,a]:
  • Se h é ímpar então
\int_{-a}^{a} h(x)\,dx = 0,
porque, fazendo a substituição u=-x, os pedaços se cancelam.
  • Se g é par então
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} g(x)\,dx,
porque a integral à esquerda é duas vezes a metade positiva.
Agora, trigonometria básica:
  • \sin(-\theta)=-\sin\theta, logo \sin\theta é ímpar.
  • \cos(-\theta)=\cos\theta, logo \cos\theta é par.

Passo 3

Aplicando as definições ao integrando 4\sin\theta-3\cos\theta:
  • A função \theta\mapsto 4\sin\theta é ímpar (multiplicando uma função ímpar por constante continua ímpar).
  • A função \theta\mapsto -3\cos\theta é par (constante vezes função par é par).
Logo podemos separar a integral em duas partes:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\bigl(4\sin\theta-3\cos\theta\bigr)\,d\theta = \int_{-\pi/3}^{\pi/3}4\sin\theta\,d\theta \;-\; \int_{-\pi/3}^{\pi/3}3\cos\theta\,d\theta.
Pelo fato da função ímpar:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}4\sin\theta\,d\theta = 0.
Pela paridade da outra parte:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}3\cos\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/3}3\cos\theta\,d\theta = 6\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta.
Portanto a integral original é
0 \;-\; 6\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta = -6\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta. A primitiva de \cos\theta é \sin\theta. Assim,
\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/3} = \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-\sin(0).
Sabendo que \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(0)=0, obtemos
\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em -6\int_{0}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta dá:
-6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -3\sqrt{3}.

Passo 5

Verificação alternativa (sempre bom checar na prova): calcular a primitiva direta do integrando.
Uma primitiva de 4\sin\theta-3\cos\theta é
F(\theta) = -4\cos\theta - 3\sin\theta,
pois \dfrac{d}{d\theta}(-4\cos\theta) = 4\sin\theta e \dfrac{d}{d\theta}(-3\sin\theta) = -3\cos\theta.
Avaliar nos extremos:
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -4\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-3\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -4\cdot\frac{1}{2}-3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -2-\frac{3\sqrt{3}}{2},
F\!\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -4\cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)-3\sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -4\cdot\frac{1}{2}-3\cdot\bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -2+\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Subtraindo,
F\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-F\!\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \Bigl(-2-\frac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr)-\Bigl(-2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\Bigr) = -3\sqrt{3},
confirmando o resultado obtido no passo anterior.

Resposta

-3\sqrt{3}

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