Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é a função
. - O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: de
a .
Passo 2
Vamos aprender um fato muito útil sobre funções pares e ímpares (é uma daquelas armas secretas para prova rápida):
- Uma função
é par se, para todo , vale . - Uma função
é ímpar se, para todo , vale .
Propriedades de integrais em intervalos simétricos
:
- Se
é ímpar então
porque, fazendo a substituição
, os pedaços se cancelam.
- Se
é par então
porque a integral à esquerda é duas vezes a metade positiva.
Agora, trigonometria básica:
-
, logo é ímpar. -
, logo é par.
Passo 3
Aplicando as definições ao integrando
:
- A função
é ímpar (multiplicando uma função ímpar por constante continua ímpar). - A função
é par (constante vezes função par é par).
Logo podemos separar a integral em duas partes:
Pelo fato da função ímpar:
Pela paridade da outra parte:
Portanto a integral original é
Passo 4
Calcular
. A primitiva de
é
. Assim,
Sabendo que
e
, obtemos
Substituindo em
dá:
Passo 5
Verificação alternativa (sempre bom checar na prova): calcular a primitiva direta do integrando.
Uma primitiva de é
Uma primitiva de
pois
e
.
Avaliar nos extremos:
Subtraindo,
confirmando o resultado obtido no passo anterior.