Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia. \int_{0}^{1}\left(\sqrt[4]{x^{5}}+\sqrt[5]{x^{4}}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Aplicamos a regra básica de integração para potências: para qualquer número real a\neq -1,
\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C.
Aqui a é o expoente da potência e C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas). Vou aplicar isso a cada termo, verificando que os expoentes não são -1:
Para x^{5/4}, temos a=5/4, então a primitiva é \dfrac{x^{5/4+1}}{5/4+1}=\dfrac{x^{9/4}}{9/4}.
Para x^{4/5}, temos a=4/5, então a primitiva é \dfrac{x^{4/5+1}}{4/5+1}=\dfrac{x^{9/5}}{9/5}.
Passo 5
Agora avaliamos cada primitiva nos limites de 0 a 1.