Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{0}^{1}\left(\sqrt[4]{x^{5}}+\sqrt[5]{x^{4}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(\sqrt[4]{x^{5}}+\sqrt[5]{x^{4}}\right)\,dx.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A função a integrar é a soma de duas raízes com potências: \sqrt[4]{x^{5}} e \sqrt[5]{x^{4}}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever as raízes em potências, porque integrar potências é direto. Lembre:
  • \sqrt[4]{x^{5}} = x^{5/4}.
  • \sqrt[5]{x^{4}} = x^{4/5}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{1}\left(x^{5/4}+x^{4/5}\right)\,dx.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Assim
\int_{0}^{1}\left(x^{5/4}+x^{4/5}\right)\,dx = \int_{0}^{1}x^{5/4}\,dx+\int_{0}^{1}x^{4/5}\,dx.

Passo 4

Aplicamos a regra básica de integração para potências: para qualquer número real a\neq -1,
\int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C.
Aqui a é o expoente da potência e C é a constante de integração (não necessária para integrais definidas). Vou aplicar isso a cada termo, verificando que os expoentes não são -1:
  • Para x^{5/4}, temos a=5/4, então a primitiva é \dfrac{x^{5/4+1}}{5/4+1}=\dfrac{x^{9/4}}{9/4}.
  • Para x^{4/5}, temos a=4/5, então a primitiva é \dfrac{x^{4/5+1}}{4/5+1}=\dfrac{x^{9/5}}{9/5}.

Passo 5

Agora avaliamos cada primitiva nos limites de 0 a 1.
Para o primeiro termo:
\int_{0}^{1}x^{5/4}\,dx = \left.\frac{x^{9/4}}{9/4}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{9/4}}{9/4}-\frac{0^{9/4}}{9/4} = \frac{1}{9/4}-0 = \frac{4}{9}.
Para o segundo termo:
\int_{0}^{1}x^{4/5}\,dx = \left.\frac{x^{9/5}}{9/5}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{9/5}}{9/5}-\frac{0^{9/5}}{9/5} = \frac{1}{9/5}-0 = \frac{5}{9}.
Observação rápida: as potências em 0 são bem-comportadas aqui porque os expoentes 9/4 e 9/5 são positivos, então 0^{\text{positivo}}=0.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\frac{4}{9}+\frac{5}{9}=\frac{9}{9}=1.

Resposta

1

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