Calcule as integrais definidas para as funções listadas abaixo, nos intervalos indicados:
f(x)=10 ln (x) ;[1,50]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
f(x) = 10ln(x)
no intervalo [1,50].
O conteúdo principal aqui é “integração por partes”, pois temos o produto de uma função logarítmica com constante.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de 10ln(x), escrevemos
integral 10ln(x),dx = 10integral ln(x),dx
Aplicamos integração por partes em integral ln(x),dx. Tomamos
u = ln(x), dv = dx,
logo
du = 1x,dx, v = x
Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral ln(x),dx = xln(x) - integral xcdot1x,dx = xln(x) - integral 1,dx = xln(x) - x + C
Multiplicando por 10, a primitiva de 10ln(x) é
F(x) = 10l(xln(x)-xr) + C

Passo 3

Agora avaliamos F(x) de 1 a 50:
integral1^5010ln(x),dx = F(50)-F(1)
Calculamos cada termo:
F(50) = 10l(50ln(50)-50r),
F(1) = 10l(1ln(1)-1r) = 10(0-1) = -10
Portanto,
integral1^5010ln(x),dx = 10l(50ln(50)-50r) - (-10) = 500ln(50) - 500 + 10 = 500ln(50) - 490

Resposta

integral1^5010ln(x),dx = 500ln(50) - 490

Exercícios relacionados