Calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int e^{\operatorname{cotg} x} \cdot\left(\operatorname{cossec}^{2} x\right) d x
Tabela de integrais imediatas:
  1. \int d u=u+c.
  2. \int u^{n} d u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c, n \neq-1.
  3. \int \frac{d u}{u}=\ln |u|+c.
  4. \int a^{u} d u=\frac{a^{u}}{\ln a}+c, a>0, a \neq 1.
  5. \int e^{u} d u=e^{u}+c.
  6. \int \operatorname{sen} u d u=-\cos u+c.
  7. \int \cos u d u=\operatorname{sen} u+c.
  8. \int \operatorname{tg} u d u=\ln |\operatorname{sec} u|+c.
  9. \int \operatorname{cotg} u d u=\ln |\operatorname{sen} u|+c.
  10. \int \operatorname{sec} u d u=\ln |\operatorname{sec} u+\operatorname{tg} u|+c.
  11. \int \operatorname{cosec} u d u=\ln |\operatorname{cosec} u-\operatorname{cotg} u|+c.
  12. \int \operatorname{sec} u \operatorname{tg} u d u=\operatorname{sec} u+c.
  13. \int \operatorname{cosec} u \operatorname{cotg} u d u=-\operatorname{cosec} u+c.
  14. \int \operatorname{sec} ^{2} u d u=\operatorname{tg} u+c.
  15. \int \operatorname{cosec}^{2} u d u=-\operatorname{cotg} u+c.
  16. \int \frac{d u}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{u}{a}+c.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{\operatorname{cotg} x}\cdot\left(\operatorname{cossec}^{2} x\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é e^{\operatorname{cotg} x}\cdot\operatorname{cossec}^{2} x.
  • Não foram dados limites, então devemos fornecer a primitiva (integral indefinida). Como o enunciado menciona “definidas e indefinidas”, também vou apresentar a forma geral para a integral definida entre dois pontos a e b.
  • Observação de notação: \operatorname{cotg} x é a mesma função que \cot x e \operatorname{cossec} x é a mesma que \csc x. Portanto a integral é
\int e^{\cot x}\,\csc^{2}x\,dx.

Passo 2

Procuramos uma substituição óbvia: reparar que aparece \cot x no expoente e \csc^{2}x multiplicando. Isso sugere escolher a substituição
u=\cot x.
Agora vamos calcular du para ver como trocar dx. Precisamos da derivada de \cot x. Usando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) =\frac{-\sin x\cdot\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x} =\frac{-(\sin^{2}x+\cos^{2}x)}{\sin^{2}x} =-\frac{1}{\sin^{2}x}.
Como \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, temos
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=-\csc^{2}x.
Portanto
du = -\csc^{2}x\,dx.

Passo 3

Isolando \csc^{2}x\,dx a partir de du=-\csc^{2}x\,dx, temos
\csc^{2}x\,dx = -du.
Substituímos u=\cot x e \csc^{2}x\,dx=-du na integral original:
\int e^{\cot x}\,\csc^{2}x\,dx = \int e^{u}\,(-du) = -\int e^{u}\,du.

Passo 4

Agora usamos a integral imediata da exponencial: sabemos que
\int e^{u}\,du = e^{u}+C.
Aplicando isso ao resultado do passo anterior:
-\int e^{u}\,du = -e^{u}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (substituição inversa u=\cot x):
-e^{u}+C = -e^{\cot x}+C.
Esse é o antiderivada (primitiva) da integranda. Vamos checar diferenciando para ter certeza: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(-e^{\cot x}\big) = -e^{\cot x}\cdot\frac{d}{dx}(\cot x) = -e^{\cot x}\cdot(-\csc^{2}x) = e^{\cot x}\csc^{2}x,
que é exatamente a integranda. Está correto.

Passo 6

Forma geral para a integral definida de a até b: se quisermos avaliar
\int_{a}^{b} e^{\cot x}\csc^{2}x\,dx,
basta usar a primitiva encontrada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} e^{\cot x}\csc^{2}x\,dx = \big[-e^{\cot x}\big]_{x=a}^{x=b} = -e^{\cot b}+e^{\cot a}.

Resposta

Indefinida: -e^{\cot x}+C
Definida (geral): -e^{\cot b}+e^{\cot a}

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