Calcule as integrais definidas e indefinidas:
Tabela de integrais imediatas:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - Não foram dados limites, então devemos fornecer a primitiva (integral indefinida). Como o enunciado menciona “definidas e indefinidas”, também vou apresentar a forma geral para a integral definida entre dois pontos
e . - Observação de notação:
é a mesma função que e é a mesma que . Portanto a integral é
Passo 2
Procuramos uma substituição óbvia: reparar que aparece
no expoente e
multiplicando. Isso sugere escolher a substituição
Agora vamos calcular
para ver como trocar
. Precisamos da derivada de
. Usando
e a regra do quociente:
Como
, temos
Portanto
Passo 3
Isolando
a partir de
, temos
Substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Agora usamos a integral imediata da exponencial: sabemos que
Aplicando isso ao resultado do passo anterior:
Passo 5
Voltando à variável original
(substituição inversa
):
Esse é o antiderivada (primitiva) da integranda. Vamos checar diferenciando para ter certeza: usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Está correto.
Passo 6
Forma geral para a integral definida de
até
: se quisermos avaliar
basta usar a primitiva encontrada e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Resposta
Indefinida:
Definida (geral):
Definida (geral):