Calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: nos dão a integral
e pedem o cálculo da integral indefinida (a primitiva) e também como calcular a integral definida (caso queiram um valor entre dois limites quaisquer). Informações relevantes: o integrando é o produto de
por
. Não foram fornecidos limites numéricos, então para a integral definida vamos fornecer a forma geral em termos de limites
e
.
Passo 2
Ideia geral (sem detalhes ainda): quando vemos um produto do tipo
e a “outra coisa” é uma função composta (aqui
), vale a pena verificar se a derivada dessa “outra coisa” aparece multiplicando o cosseno. Se sim, fazemos a substituição
(essa outra coisa) — isso é o método de substituição (trocar variável) para integrais.
Passo 3
Lembrete didático sobre substituição: se tivermos uma integral da forma
então podemos pôr
, obter
e a integral vira
que normalmente é mais simples. Aqui vamos verificar se o integrando tem essa estrutura.
Passo 4
Escolhendo a substituição: observe a parte dentro do cosseno,
Definimos
Passo 5
Calculando
: derivamos
em relação a
:
Isso significa que, multiplicando por
,
Passo 6
Isolando o diferencial para trocar na integral: a nossa integral tem
. Da relação anterior temos
Passo 7
Substituindo na integral: trocando
por
e
por
, obtemos
Como
é constante, isso é
Passo 8
Integral de
: sabemos que uma primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
(regra básica de derivação). Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando para a variável original: substituímos
de volta e obtemos a primitiva em
:
Passo 10
Verificação (importante na prova): derivando a primitiva para checar se volta ao integrando. Derivada de
é
pela regra da cadeia, e isso simplifica para
que é exatamente o integrando original. Boa — está correto.
Passo 11
Integral definida em termos de primitiva: se quisermos a integral definida com limites
e
, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Se
é uma primitiva, então
Passo 12
Exemplo rápido para fixar a técnica (sem relação com valores numéricos): integrar
. Fazendo
dá
, logo a integral vira
. O padrão é o mesmo que usamos no problema principal: reconhecemos a derivada da parte interna multiplicando o cosseno.