Calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int\left(x^{2}+1\right) \cdot \cos \left(\mathrm{x}^{3}+3 \mathrm{x}\right) d x

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: nos dão a integral
\int \left(x^{2}+1\right)\cdot \cos\left(x^{3}+3x\right)\,dx
e pedem o cálculo da integral indefinida (a primitiva) e também como calcular a integral definida (caso queiram um valor entre dois limites quaisquer). Informações relevantes: o integrando é o produto de \left(x^{2}+1\right) por \cos\left(x^{3}+3x\right). Não foram fornecidos limites numéricos, então para a integral definida vamos fornecer a forma geral em termos de limites a e b.

Passo 2

Ideia geral (sem detalhes ainda): quando vemos um produto do tipo \text{algo}\cdot \cos(\text{outra coisa}) e a “outra coisa” é uma função composta (aqui \,x^{3}+3x), vale a pena verificar se a derivada dessa “outra coisa” aparece multiplicando o cosseno. Se sim, fazemos a substituição u= (essa outra coisa) — isso é o método de substituição (trocar variável) para integrais.

Passo 3

Lembrete didático sobre substituição: se tivermos uma integral da forma
\int f'(x)\,g(f(x))\,dx,
então podemos pôr u=f(x), obter du=f'(x)\,dx e a integral vira
\int g(u)\,du,
que normalmente é mais simples. Aqui vamos verificar se o integrando tem essa estrutura.

Passo 4

Escolhendo a substituição: observe a parte dentro do cosseno,
x^{3}+3x.
Definimos
u = x^{3}+3x.

Passo 5

Calculando du: derivamos u em relação a x:
\frac{du}{dx} = 3x^{2}+3 = 3\left(x^{2}+1\right).
Isso significa que, multiplicando por dx,
du = 3\left(x^{2}+1\right)\,dx.

Passo 6

Isolando o diferencial para trocar na integral: a nossa integral tem \left(x^{2}+1\right)\,dx. Da relação anterior temos
\left(x^{2}+1\right)\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 7

Substituindo na integral: trocando x^{3}+3x por u e \left(x^{2}+1\right)\,dx por \frac{1}{3}\,du, obtemos
\int \left(x^{2}+1\right)\cos\left(x^{3}+3x\right)\,dx = \int \cos(u)\cdot \frac{1}{3}\,du.
Como \frac{1}{3} é constante, isso é
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 8

Integral de \cos(u): sabemos que uma primitiva de \cos(u) em relação a u é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) é \cos(u) (regra básica de derivação). Portanto
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 9

Voltando para a variável original: substituímos u = x^{3}+3x de volta e obtemos a primitiva em x:
\frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+3x\bigr) + C.

Passo 10

Verificação (importante na prova): derivando a primitiva para checar se volta ao integrando. Derivada de \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+3x\bigr) é
\frac{1}{3}\cos\bigl(x^{3}+3x\bigr)\cdot (3x^{2}+3)
pela regra da cadeia, e isso simplifica para
\cos\bigl(x^{3}+3x\bigr)\cdot\left(x^{2}+1\right),
que é exatamente o integrando original. Boa — está correto.

Passo 11

Integral definida em termos de primitiva: se quisermos a integral definida com limites \,a e \,b, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Se
F(x)=\frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+3x\bigr)
é uma primitiva, então
\int_{a}^{b}\left(x^{2}+1\right)\cos\left(x^{3}+3x\right)\,dx = F(b)-F(a) = \frac{1}{3}\sin\bigl(b^{3}+3b\bigr)-\frac{1}{3}\sin\bigl(a^{3}+3a\bigr).

Passo 12

Exemplo rápido para fixar a técnica (sem relação com valores numéricos): integrar \int 2x\cos(x^{2})\,dx. Fazendo u=x^{2} du=2x\,dx, logo a integral vira \int \cos(u)\,du=\sin(u)+C=\sin(x^{2})+C. O padrão é o mesmo que usamos no problema principal: reconhecemos a derivada da parte interna multiplicando o cosseno.

Resposta

\displaystyle \int \left(x^{2}+1\right)\cos\left(x^{3}+3x\right)\,dx = \frac{1}{3}\sin\bigl(x^{3}+3x\bigr) + C\n
\displaystyle \int_{a}^{b}\left(x^{2}+1\right)\cos\left(x^{3}+3x\right)\,dx = \frac{1}{3}\sin\bigl(b^{3}+3b\bigr)-\frac{1}{3}\sin\bigl(a^{3}+3a\bigr)

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