(Valor até 1.5 pontos ) Encontre a área da região delimitada pelos gráficos de y=x^{2} e y=2 x-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos das duas funções dadas. As informações importantes são:
  • As curvas são y=x^{2} e y=2x-x^{2}.
  • Precisamos encontrar a área da região comum (fechada) entre essas duas curvas.

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as curvas, porque a área entre curvas normalmente é computada entre essas abscissas. Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}=2x-x^{2}.
Agora resolvemos essa equação: somando x^{2} em ambos os lados obtemos
2x^{2}-2x=0.
Fatorando:
2x(x-1)=0.
Portanto os pontos de interseção têm abscissas
x=0\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 3

Para montar a integral precisamos saber qual curva está por cima (maior y) entre x=0 e x=1. Escolhemos um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{2}.
Calculamos ambas as funções nesse ponto:
y_{1}=x^{2}\Big|_{x=\tfrac{1}{2}}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},
y_{2}=2x-x^{2}\Big|_{x=\tfrac{1}{2}}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Como \tfrac{3}{4}>\tfrac{1}{4}, a curva y=2x-x^{2} está acima de y=x^{2} no intervalo [0,1].

Passo 4

Agora explico a ideia da fórmula que vamos usar: a área entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo), entre x=a e x=b, é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.Á
Por que isso funciona? Pense em dividir o intervalo [a,b] em retângulos finos de largura \,dx. Em cada retângulo a altura aproximada da região é a diferença f(x)-g(x), então a área aproximada do retângulo é (f(x)-g(x))\,dx. Somando (integrando) essas áreas infinitesimais obtemos a área exata.
Aplicando ao nosso caso, com a=0, b=1, f(x)=2x-x^{2} (a de cima) e g(x)=x^{2} (a de baixo), temos
\text{Área}=\int_{0}^{1}\big((2x-x^{2})-x^{2}\big)\,dx.Á

Passo 5

Simplificamos o integrando:
(2x-x^{2})-x^{2}=2x-2x^{2}.
Então calculamos a integral
\text{Área}=\int_{0}^{1}(2x-2x^{2})\,dx.Á
Encontramos a primitiva termo a termo. Lembre que \int 2x\,dx = x^{2} e \int 2x^{2}\,dx = \tfrac{2}{3}x^{3}. Assim uma primitiva é
F(x)=x^{2}-\tfrac{2}{3}x^{3}.
Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo, avaliando de 0 a 1:
\text{Área}=F(1)-F(0)=\left(1^{2}-\tfrac{2}{3}\cdot 1^{3}\right)-\left(0-0\right)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.Á

Resposta

\tfrac{1}{3}

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