Calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int\left(e^{5 x}+\operatorname{sen} \frac{x}{2}+\frac{2}{3 x-1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(e^{5 x}+\operatorname{sen}\frac{x}{2}+\frac{2}{3 x-1}\right)\,dx.
Informações dadas:
\;e^{5x}, \;\operatorname{sen}\frac{x}{2} e \;\dfrac{2}{3x-1} são os termos somados dentro da integral.
O pedido é encontrar uma primitiva (integração indefinida) da soma desses termos — ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a expressão dentro da integral. Não foram dados limites, então não há uma integral definida a avaliar.

Passo 2

Usamos a propriedade linear da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Em símbolos,
\int\left(e^{5 x}+\sin\frac{x}{2}+\frac{2}{3 x-1}\right)\,dx = \int e^{5x}\,dx+\int \sin\frac{x}{2}\,dx+\int \frac{2}{3x-1}\,dx.
Isso nos permite tratar cada termo separadamente — o jeito mais simples e seguro na prova.

Passo 3

Integral do primeiro termo \int e^{5x}\,dx.
Regra usada: para constante a\neq 0,
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
Por que isso vale? Diferenciando \dfrac{1}{a}e^{ax} temos \dfrac{1}{a}\cdot a e^{ax}=e^{ax}, portanto é realmente uma primitiva. Aplicando com a=5:
\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C_1.

Passo 4

Integral do segundo termo \int \sin\frac{x}{2}\,dx.
Método: substituição (troca de variável). Seja \displaystyle u=\frac{x}{2}. Então \,du=\frac{1}{2}\,dx, logo dx=2\,du.
Substituindo:
\int \sin\frac{x}{2}\,dx=\int \sin u\cdot 2\,du=2\int \sin u\,du.
Sabemos que \displaystyle\int \sin u\,du=-\cos u + C. Portanto
2\int \sin u\,du = 2(-\cos u)+C_2 = -2\cos u + C_2.
Voltando para x (pois u=\frac{x}{2}):
\int \sin\frac{x}{2}\,dx = -2\cos\frac{x}{2}+C_2.
Verificação rápida: derivando -2\cos\frac{x}{2} obtemos -2\cdot(-\sin\frac{x}{2})\cdot\frac{1}{2}=\sin\frac{x}{2}, ok.

Passo 5

Integral do terceiro termo \int \frac{2}{3x-1}\,dx.
Também usamos substituição. Seja \displaystyle v=3x-1. Então \,dv=3\,dx, ou dx=\frac{1}{3}dv.
Substituindo:
\int \frac{2}{3x-1}\,dx=\int \frac{2}{v}\cdot\frac{1}{3}\,dv=\frac{2}{3}\int \frac{1}{v}\,dv.
Sabemos que \displaystyle\int \frac{1}{v}\,dv=\ln|v|+C. Assim
\frac{2}{3}\int \frac{1}{v}\,dv=\frac{2}{3}\ln|v|+C_3.
Voltando para x:
\int \frac{2}{3x-1}\,dx=\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C_3.
Observação: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural está definido para argumentos positivos; a primitiva válida é com \ln|\,\cdot\,|.

Passo 6

Juntando as três primitivas e consolidando a constante de integração (podemos somar C_1,C_2,C_3 em uma única constante C):
\int\left(e^{5 x}+\sin\frac{x}{2}+\frac{2}{3 x-1}\right)\,dx = \frac{1}{5}e^{5x}-2\cos\frac{x}{2}+\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C.

Passo 7

Verificação final (derivada da resposta): derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{5}e^{5x}\right)=e^{5x},\quad \frac{d}{dx}\!\left(-2\cos\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2},\quad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}\ln|3x-1|\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{3x-1}=\frac{2}{3x-1},
somando dá exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}e^{5x}-2\cos\frac{x}{2}+\frac{2}{3}\ln|3x-1|+C

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