Calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
,
e
são os termos somados dentro da integral.
O pedido é encontrar uma primitiva (integração indefinida) da soma desses termos — ou seja, uma função tal que
seja a expressão dentro da integral. Não foram dados limites, então não há uma integral definida a avaliar.
O pedido é encontrar uma primitiva (integração indefinida) da soma desses termos — ou seja, uma função
Passo 2
Usamos a propriedade linear da integral: a integral de soma é a soma das integrais. Em símbolos,
Isso nos permite tratar cada termo separadamente — o jeito mais simples e seguro na prova.
Passo 3
Integral do primeiro termo
.
Regra usada: para constante
,
Por que isso vale? Diferenciando
temos
, portanto é realmente uma primitiva. Aplicando com
:
Passo 4
Integral do segundo termo
.
Método: substituição (troca de variável). Seja
. Então
, logo
.
Substituindo:
Substituindo:
Sabemos que
. Portanto
Voltando para
(pois
):
Verificação rápida: derivando
obtemos
, ok.
Passo 5
Integral do terceiro termo
.
Também usamos substituição. Seja
. Então
, ou
.
Substituindo:
Substituindo:
Sabemos que
. Assim
Voltando para
:
Observação: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural está definido para argumentos positivos; a primitiva válida é com
.
Passo 6
Juntando as três primitivas e consolidando a constante de integração (podemos somar
em uma única constante
):
Passo 7
Verificação final (derivada da resposta): derivando termo a termo,
somando dá exatamente a integranda, confirmando que a primitiva está correta.