Calcule as integrais definidas e indefinidas:
integral(cos x)^3 cdot(sen x)^4 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de (cos x)^3 cdot (sin x)^4 em relação a x. Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais de funções trigonométricas. Vamos precisar usar substituição trigonométrica para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para tornar a integral mais fácil de resolver. Sabemos que sin^2 x + cos^2 x = 1, então podemos escrever sin^4 x como (sin^2 x)^2 = (1 - cos^2 x)^2. Assim, a integral fica:
integral (cos x)^3 cdot (1 - cos^2 x)^2 dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = sin x, então a derivada de u em relação a x é du = cos x dx. Isso significa que cos x dx = du.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de u:
integral (cos x)^3 cdot (1 - cos^2 x)^2 dx = integral cos^2 x cdot (cos x dx) cdot (1 - cos^2 x)^2
Substituindo u = sin x e cos x dx = du, temos:
integral (1 - u^2) cdot (1 - (1 - u^2))^2 du = integral (1 - u^2) cdot u^4 du

Passo 5

Agora, vamos distribuir e integrar termo a termo:
integral (u^4 - u^6) du = integral u^4 du - integral u^6 du = u^55 - u^77 + C
Substituindo u = sin x de volta na expressão, obtemos:
(sin x)^55 - (sin x)^77 + C

Resposta

A integral de (cos x)^3 cdot (sin x)^4 em relação a x é:
sin^5 x5 - sin^7 x7 + C

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