Considere . Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano , a qual é delimitada pelas curvas e , em torno:
(1) do eixo .
(2) do eixo .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o enunciado pede: temos a região R limitada por y = a cosh(x/a), y = 0 e x = ±a, e queremos os volumes de revolução em torno do eixo x e do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos (eixos perpendiculares às secções) e o dos casquilhos cilíndricos (eixo de revolução paralelo às secções).
Passo 2
Para o volume em torno do eixo x, usamos o método dos discos: cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x) = a cosh(x/a). Assim
Passo 3
Aplicamos a identidade . Então
Passo 4
Agora integramos: e, com a troca , , . Logo
Passo 5
Para o volume em torno do eixo y, usamos casquilhos cilíndricos: para cada x a casca tem raio |x|, altura y(x)=a cosh(x/a) e espessura dx. O volume é