Considere a>0. Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos a região limitada no plano R subset R^2, a qual é delimitada pelas curvas y=a cosh (xa), y=0, x=a e x=-a, em torno:
(1) do eixo x.
(2) do eixo y.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado pede: temos a região R limitada por y = a cosh(x/a), y = 0 e x = ±a, e queremos os volumes de revolução em torno do eixo x e do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução, usando o método dos discos (eixos perpendiculares às secções) e o dos casquilhos cilíndricos (eixo de revolução paralelo às secções).

Passo 2

Para o volume em torno do eixo x, usamos o método dos discos: cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio y(x) = a cosh(x/a). Assim
Vx = integralx=-a^a pil(acosh(tfracxa)r)^2 ,dx

Passo 3

Aplicamos a identidade cosh^2(u)=tfrac1+cosh(2u)2. Então
Vx = pi a^2integral-a^acosh^2l(tfracxar)dx =pi a^22integral-a^al(1+cosh(2x/a)r)dx

Passo 4

Agora integramos: integral-a^a1,dx=2a e, com a troca t=2x/a, dx=(a/2)dt, integral-a^acosh(2x/a)dx = asinh(2). Logo
Vx = pi a^22l(2a + asinh(2)r) = pi a^32l(2+sinh(2)r)

Passo 5

Para o volume em torno do eixo y, usamos casquilhos cilíndricos: para cada x a casca tem raio |x|, altura y(x)=a cosh(x/a) e espessura dx. O volume é
$$V_y = \int_{-a}^{a}2\pi|x|\bigl(a\cosh(\tfrac{x}{a})\bigr)dx.
$$

Passo 6

Como a função é par em cosh e simétrica em x, podemos fazer de 0 a a e multiplicar por 2:
$$V_y = 4\pi a \int_{0}^{a} x\cosh(\tfrac{x}{a}) ,dx.
$$

Passo 7

Fazemos integração por partes em I=integral0^a xcosh(x/a)dx: seja u=x, dv=cosh(x/a)dx du=dx, v=asinh(x/a). Então
I = a xsinh(tfracxa)|0^a - aintegral0^asinh(tfracxa)dx = a^2sinh(1) - a^2l(cosh(1)-1r)

Passo 8

Logo
$$V_y = 4\pi a,I = 4\pi a^3\bigl(1 + \sinh(1)-\cosh(1)\bigr).
$$

Resposta

(1) Vx = tfracpi a^32l(2 + sinh(2)r) (2) Vy = 4pi a^3l(1 + sinh(1) - cosh(1)r)

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