Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
usando a fórmula de Taylor. O conteúdo é séries de Taylor em torno de zero, e vamos precisar das expansões de
e
até termos de ordem
ou
, para depois dividir as séries.
Passo 2
Para
usamos a expansão conhecida: \
Isso vem da série de Taylor centrada em zero. Para
temos: \
que também é obtida pela definição de série de Taylor.
Passo 3
Substituímos as expansões na expressão original. O numerador fica
e o denominador é
Passo 4
Fatoramos
em cima e embaixo e cancelamos:
Para dividir séries usamos
. Aqui
e
, então
Passo 5
À medida que
, os termos de ordem superior
desaparecem, e o limite vale 1.
Resposta
1