Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 arctan (x)x cosh (x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto 0 arctan(x)xcosh(x) usando a fórmula de Taylor. O conteúdo é séries de Taylor em torno de zero, e vamos precisar das expansões de arctan(x) e cosh(x) até termos de ordem x^3 ou x^2, para depois dividir as séries.

Passo 2

Para arctan(x) usamos a expansão conhecida: \
arctan(x) = x - x^33 + O(x^5)
Isso vem da série de Taylor centrada em zero. Para cosh(x) temos: \
cosh(x) = 1 + x^22 + O(x^4)
que também é obtida pela definição de série de Taylor.

Passo 3

Substituímos as expansões na expressão original. O numerador fica
arctan(x) = x - x^33 + O(x^5)
e o denominador é
xcosh(x) = xl(1 + x^22 + O(x^4)r) = x + x^32 + O(x^5)

Passo 4

Fatoramos x em cima e embaixo e cancelamos:
arctan(x)xcosh(x) = xl(1 - x^23 + O(x^4)r)xl(1 + x^22 + O(x^4)r) = 1 - x^23 + O(x^4)1 + x^22 + O(x^4)
Para dividir séries usamos 1 + A1 + B = 1 + A - B + O(x^4). Aqui A = -x^23 e B = x^22, então
1 - x^23 + O(x^4)1 + x^22 + O(x^4) = 1 - x^23 - x^22 + O(x^4) = 1 - 5x^26 + O(x^4)

Passo 5

À medida que xto 0, os termos de ordem superior O(x^2) desaparecem, e o limite vale 1.

Resposta

1

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