Calcule as integrais definidas e indefinidas:
integral x^23 raiz4+x^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as integrais definidas e indefinidas da função:
integral x^23 raiz4 + x^2 , dx
Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e decomposição de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral indefinida:
integral x^23 raiz4 + x^2 , dx
Podemos simplificar essa expressão fatorando o 1/3:
13 integral x^2raiz4 + x^2 , dx

Passo 3

Observamos que o numerador é $ x^{2} $, e queremos simplificar a fração. Vamos reescrever $ x^{2} $ da seguinte forma:
x^2
Substituindo na integral:
x^2

Passo 4

Simplificando cada termo:
4 + x^2raiz4 + x^2 = raiz4 + x^2
Portanto, a integral fica:
13 integral ( raiz4 + x^2 - 4raiz4 + x^2 ) , dx

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
13 ( integral raiz4 + x^2 , dx - 4 integral 1raiz4 + x^2 , dx )
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral raiz4 + x^2 , dx
Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
integral raiza^2 + x^2 , dx = x2 raiza^2 + x^2 + a^22 ln( x + raiza^2 + x^2 ) + C
Aqui, $ a = 2 $ (pois $ a^{2} = 4 $). Substituindo:
a = 2

Passo 7

Segunda integral:
integral 1raiz4 + x^2 , dx
Usamos a fórmula padrão:
integral 1raiza^2 + x^2 , dx = ln( x + raiza^2 + x^2 ) + C
Novamente, $ a = 2 $. Então:
a = 2

Passo 8

Agora, substituímos as integrais resolvidas de volta na expressão original:
13 ( x2 raiz4 + x^2 + 2 ln( x + raiz4 + x^2 ) - 4 ln( x + raiz4 + x^2 ) ) + C
Simplificando os termos de logaritmo:
13 ( x2 raiz4 + x^2 - 2 ln( x + raiz4 + x^2 ) ) + C

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral x^23 raiz4 + x^2 , dx = x raiz4 + x^26 - 23 ln( x + raiz4 + x^2 ) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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