Calcule as integrais definidas e indefinidas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as integrais definidas e indefinidas da função:
Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e decomposição de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral indefinida:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o 1/3:
Passo 3
Observamos que o numerador é $ x^{2} $, e queremos simplificar a fração. Vamos reescrever $ x^{2} $ da seguinte forma:
Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aqui, $ a = 2 $ (pois $ a^{2} = 4 $). Substituindo:
Passo 7
Segunda integral:
Usamos a fórmula padrão:
Novamente, $ a = 2 $. Então:
Passo 8
Agora, substituímos as integrais resolvidas de volta na expressão original:
Simplificando os termos de logaritmo:
Resposta
Portanto, a integral indefinida é:
Onde $ C $ é a constante de integração.