Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes , e tais que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo o lado direito da equação:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
- A + 2B = -1 Rightarrow A = 2B +1
Agora, substituímos A na primeira equação:
2(2B +1) + C = 1 Rightarrow 4B + 2 + C =1 Rightarrow 4B + C = -1
E da terceira equação:
- B + 4C = -21
Passo 8
Agora temos um sistema com duas variáveis:
4B + C = -1 - B + 4C = -21
Vamos resolver para B e C. Multiplicamos a primeira equação por 1 e a segunda por 4 para eliminar C:
4B + C = -1 -4B + 16C = -84
Somando as duas equações:
(4B + C) + (-4B + 16C) = -1 -84 Rightarrow 17C = -85 Rightarrow C = -5
Agora, substituímos C = -5 na primeira equação:
4B -5 = -1 Rightarrow 4B = 4 Rightarrow B =1
E de A = 2B +1:
A = 2(1) +1 =3
Passo 9
Agora que temos A =3, B=1 e C=-5, podemos reescrever a fração original:
x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) = 3x +1x^2+4 + -52x -1
Ou seja,
x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) = 3x +1x^2+4 - 52x -1
Passo 10
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x +1x^2+4 dx - integral 52x -1 dx
Passo 11
Para o primeiro integral, integral 3x +1x^2+4 dx, podemos separar:
integral 3xx^2+4 dx + integral 1x^2+4 dx
A primeira parte pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma forma padrão que resulta em arctan.
Passo 12
Vamos resolver integral 3xx^2+4 dx. Seja u = x^2 +4, então du = 2x dx, ou x dx = du2.
Então:
integral 3xx^2+4 dx = 32 integral duu = 32 ln|u| + C = 32 ln(x^2+4) + C
Passo 13
Agora, para integral 1x^2+4 dx, reconhecemos que é da forma integral 1x^2+a^2 dx = 1a arctan(xa) + C. Aqui, a=2.
Então:
integral 1x^2+4 dx = 12 arctan(x2) + C
Passo 14
Agora, juntando as partes do primeiro integral:
integral 3x +1x^2+4 dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) + C
Passo 15
Para o segundo integral, integral 52x -1 dx, podemos fazer uma substituição simples. Seja u = 2x -1, então du = 2 dx, ou dx = du2.
Então:
integral 52x -1 dx = 52 integral duu = 52 ln|u| + C = 52 ln|2x -1| + C
Passo 16
Juntando tudo:
integral x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) - 52 ln|2x -1| + C
Resposta
A integral é igual a:
integral x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) - 52 ln|2x -1| + C