Calcule as integrais definidas e indefinidas:
integral x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar frações racionais em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) como a soma de frações parciais. A ideia é encontrar constantes A, B e C tais que:
x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) = A x + Bx^2+4 + C2x -1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x^2+4)(2 x-1) para eliminar as frações:
x^2-x-21 = (A x + B)(2x -1) + C(x^2+4)

Passo 4

Expandindo o lado direito da equação:
x^2-x-21 = A x (2x) + A x (-1) + B (2x) + B (-1) + C x^2 + 4C
x^2-x-21 = 2A x^2 - A x + 2B x - B + C x^2 + 4C

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
x^2-x-21 = (2A + C) x^2 + (-A + 2B) x + (-B + 4C)

Passo 6

Para que as duas expressões sejam iguais para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2A + C = 1 - A + 2B = -1 - B + 4C = -21

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
- A + 2B = -1 Rightarrow A = 2B +1
Agora, substituímos A na primeira equação:
2(2B +1) + C = 1 Rightarrow 4B + 2 + C =1 Rightarrow 4B + C = -1
E da terceira equação:
- B + 4C = -21

Passo 8

Agora temos um sistema com duas variáveis:
4B + C = -1 - B + 4C = -21
Vamos resolver para B e C. Multiplicamos a primeira equação por 1 e a segunda por 4 para eliminar C:
4B + C = -1 -4B + 16C = -84
Somando as duas equações:
(4B + C) + (-4B + 16C) = -1 -84 Rightarrow 17C = -85 Rightarrow C = -5
Agora, substituímos C = -5 na primeira equação:
4B -5 = -1 Rightarrow 4B = 4 Rightarrow B =1
E de A = 2B +1:
A = 2(1) +1 =3

Passo 9

Agora que temos A =3, B=1 e C=-5, podemos reescrever a fração original:
x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) = 3x +1x^2+4 + -52x -1
Ou seja,
x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) = 3x +1x^2+4 - 52x -1

Passo 10

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x +1x^2+4 dx - integral 52x -1 dx

Passo 11

Para o primeiro integral, integral 3x +1x^2+4 dx, podemos separar:
integral 3xx^2+4 dx + integral 1x^2+4 dx
A primeira parte pode ser resolvida por substituição, e a segunda é uma forma padrão que resulta em arctan.

Passo 12

Vamos resolver integral 3xx^2+4 dx. Seja u = x^2 +4, então du = 2x dx, ou x dx = du2.
Então:
integral 3xx^2+4 dx = 32 integral duu = 32 ln|u| + C = 32 ln(x^2+4) + C

Passo 13

Agora, para integral 1x^2+4 dx, reconhecemos que é da forma integral 1x^2+a^2 dx = 1a arctan(xa) + C. Aqui, a=2.
Então:
integral 1x^2+4 dx = 12 arctan(x2) + C

Passo 14

Agora, juntando as partes do primeiro integral:
integral 3x +1x^2+4 dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) + C

Passo 15

Para o segundo integral, integral 52x -1 dx, podemos fazer uma substituição simples. Seja u = 2x -1, então du = 2 dx, ou dx = du2.
Então:
integral 52x -1 dx = 52 integral duu = 52 ln|u| + C = 52 ln|2x -1| + C

Passo 16

Juntando tudo:
integral x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) - 52 ln|2x -1| + C

Resposta

A integral é igual a:
integral x^2-x-21(x^2+4)(2 x-1) dx = 32 ln(x^2+4) + 12 arctan(x2) - 52 ln|2x -1| + C

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