Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(a) lim (x, y) (0,0) 3 x yx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar o limite de uma função de duas variáveis quando \(x,y)\ se aproxima de \(0,0)\, que é um problema de cálculo de limites em várias variáveis e exige verificar se o valor é único independentemente do caminho de aproximação.

Passo 2

Uma forma clássica de testar se o limite existe é aproximar ao longo de retas $,y = m x$, substituindo na expressão e vendo se o resultado depende de \m\.

Passo 3

Substituindo \y = x\ na função temos
$ 3 xcdot xx^2 + x^2 = 3 x^22x^2 = 32

Passo 4

Substituindo \y = -x\ na função temos
$ 3 xcdot (-x)x^2 + (-x)^2 = -3 x^22x^2 = -32

Passo 5

Como ao aproximar por \y = x\ o limite dá \tfrac32\ e por \y = -x\ dá \-\tfrac32\, vemos que o valor depende do caminho. Portanto não há um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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