Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral-infty^infty 1x^2+16 x+110 d x

Passo 1

Na integral imprópria estamos com
integral-infty^infty1x^2+tfrac16x+tfrac110,dx
um polinômio quadrático no denominador sem raízes reais. O conteúdo é integrais impróprias de funções racionais, e vamos usar completar o quadrado e a primitiva de 1/(u^2+A^2).

Passo 2

Para garantir que podemos aplicar o método, verificamos a convergência da integral. Quando |x|toinfty,
1x^2+tfrac16x+tfrac110sim1x^2
Como integral^infty!1/x^2,dx converge, nossa integral também converge.

Passo 3

Agora completamos o quadrado no denominador:
x^2+tfrac16x+tfrac110 = l(x+tfrac112r)^2 -l(tfrac112r)^2+tfrac110
Calculando (-1/144+1/10)=67/720, obtemos
x^2+tfrac16x+tfrac110 = l(x+tfrac112r)^2+tfrac67720

Passo 4

Fazendo a substituição de variável para centralizar o quadrado:
u = x+tfrac112, du=dx,
os limites continuam de -infty a +infty, e a integral vira
integral-infty^inftyduu^2+tfrac67720

Passo 5

Reconhecemos a forma padrão
integralduu^2+A^2=1Aarctanl(tfracuAr)+C,
onde
A^2=tfrac67720Longrightarrow A=raiztfrac67720

Passo 6

Aplicamos a primitiva e avaliamos de -infty a +infty:
integral-infty^inftyduu^2+A^2 = l[tfrac1Aarctan(tfracuA)r]-infty^infty = tfrac1Al(tfracpi2-(-tfracpi2)r) = tfracpiA

Passo 7

Substituindo A=raiz67/720, fica
piA=piraiztfrac72067=12piraiz5raiz67

Resposta

12piraiz5raiz67

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