Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
© lim (x, y) (1,-3) f(x, y), em que f(x, y)=x-1x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite da função $ f(x, y) = \frac{x - 1}{x^{2} - y^{2}} $ quando o ponto f(x, y) = x - 1x^2 - y^2 se aproxima de (x, y). Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando nos aproximamos de um ponto específico por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o ponto (1, -3) na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo:
f(1, -3) = 1 - 11^2 - (-3)^2 = 01 - 9 = 0-8 = 0
Isso sugere que o limite pode ser 0. Mas atenção! Em funções de duas variáveis, só porque a substituição direta dá um valor, não significa necessariamente que o limite existe. Precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos do ponto (1, -3) por diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximar de (1, -3) e ver se o limite permanece o mesmo.
Primeiro caminho: Mantendo $ x = 1 $ e deixando $ y $ se aproximar de x = 1 .
Substituindo $ x = 1 $ na função:
y
Então, à medida que $ y $ se aproxima de -3, o limite é 0.
Segundo caminho: Mantendo $ y = -3 $ e deixando $ x $ se aproximar de x = 1 .
Substituindo $ y = -3 $ na função:
f(1, y) = 1 - 11^2 - y^2 = 01 - y^2 = 0
Agora, calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
y
Então, também neste caminho, o limite é 0.

Passo 4

Como o limite foi 0 nos dois caminhos que escolhemos, podemos concluir que o limite da função $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) é realmente 0. Isso acontece porque, independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto, o valor do limite permanece o mesmo.

Resposta

O limite de $ f(x, y) = \frac{x - 1}{x^{2} - y^{2}} $ quando f(x, y) = x - 1x^2 - y^2 é igual a 0.

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