Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
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, em que
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o limite da função $ f(x, y) = \frac{x - 1}{x^{2} - y^{2}} $ quando o ponto
se aproxima de
. Aqui estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam quando nos aproximamos de um ponto específico por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente o ponto
na função para ver se conseguimos encontrar o limite de forma simples. Substituindo:
Isso sugere que o limite pode ser 0. Mas atenção! Em funções de duas variáveis, só porque a substituição direta dá um valor, não significa necessariamente que o limite existe. Precisamos verificar se o resultado é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximar de
e ver se o limite permanece o mesmo.
Primeiro caminho: Mantendo $ x = 1 $ e deixando $ y $ se aproximar de
.
Substituindo $ x = 1 $ na função:
Então, à medida que $ y $ se aproxima de
, o limite é 0.
Segundo caminho: Mantendo $ y = -3 $ e deixando $ x $ se aproximar de
.
Substituindo $ y = -3 $ na função:
Agora, calculando o limite quando $ x $ se aproxima de 1:
Então, também neste caminho, o limite é 0.
Passo 4
Como o limite foi 0 nos dois caminhos que escolhemos, podemos concluir que o limite da função $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
é realmente 0. Isso acontece porque, independente do caminho que escolhemos para nos aproximar do ponto, o valor do limite permanece o mesmo.
Resposta
O limite de $ f(x, y) = \frac{x - 1}{x^{2} - y^{2}} $ quando
é igual a 0.