Determine todos os pontos nos quais a função
é contínua, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função $ g $ é contínua. A função $ g $ tem duas variáveis, $ x $ e $ y $, e está definida de maneira diferente quando $ (x, y) $ é igual a $ (0,0) $ ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de várias variáveis e como calcular limites nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função de duas variáveis, como a nossa $ g(x, y) $, é contínua em um ponto $ (a, b) $ se o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para todos os pontos $ (x, y) $ diferentes de $ (0,0) $, vamos verificar a continuidade e, especialmente, vamos prestar atenção no ponto $ (0,0) $, que é onde a definição da função muda.
Passo 3
Vamos começar analisando os pontos onde $ (x, y) \neq (0,0) $. Nesses casos, a função é dada por:
Aqui, o denominador $ x^{2} + y^{4} $ nunca é zero, já que $ x^{2} $ e $ y^{4} $ são sempre positivos ou zero, mas juntos nunca somam zero a menos que $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Como estamos considerando $ (x, y) \neq (0,0) $, a função é uma fração com denominador diferente de zero, o que significa que $ g(x, y) $ é contínua em todos esses pontos.
Passo 4
Agora, o ponto crucial: $ (0,0) $. Queremos saber se a função é contínua nesse ponto. Para isso, precisamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ e ver se esse limite é igual a $ g(0,0) $, que é 0.
Então, vamos calcular:
Passo 5
Para calcular esse limite, podemos usar uma abordagem de comparar com funções mais simples que sabemos o comportamento perto de zero. Observamos que:
Isso porque $ x^{2} $ é sempre positivo ou zero, então $ x^{2} + y^{4} \geq y^{4} $, e portanto a fração é menor ou igual a $ y^{4} $.
Sabemos que $ y^{4} $ tende a 0 quando $ y $ tende a 0. Da mesma forma, podemos também observar que:
E $ x^{2} $ também tende a 0 quando $ x $ tende a 0. Portanto, o limite da nossa função $ g(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é 0.
Resposta
A função $ g $ é contínua em todos os pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $.