Calcule as integrais definidas.
\int_{0}^{1} \cos \left(\frac{\pi t}{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo necessário é saber encontrar a primitiva de \cos(k t) e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Lembrando que
\frac{d}{dt}\bigl(\sin(k t)\bigr)=k\cos(k t),
segue que uma primitiva de \cos(k t) é
\int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t) + C.

Passo 3

No nosso caso k=\tfrac{\pi}{2}. Portanto, uma primitiva de \cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) é
F(t)=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}}\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{2}\Bigr) =\frac{2}{\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi t}{2}\Bigr).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr)\,dt =F(1)-F(0) =\frac{2}{\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) -\frac{2}{\pi}\sin(0).

Passo 5

Como \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(0)=0, obtemos
\int_{0}^{1}\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr)\,dt =\frac{2}{\pi}\bigl(1-0\bigr) =\frac{2}{\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\pi}

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