1^{\underline{a}} Questão ( 8 pts) Calcule as integrais indefinidas:
\int x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{10} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}(x^{3}+1)^{10}\,dx.
Enxergamos uma composição de funções (x^3+1)^{10} cuja “quase derivada” 3x^2 está presente no integrando. Então, vamos usar substituição.

Passo 2

Fazemos a troca
u = x^{3} + 1
que dá
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int x^{2}(x^{3}+1)^{10}\,dx = \int u^{10}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{10}\,du = \frac{1}{3}\,\frac{u^{11}}{11} + C = \frac{u^{11}}{33} + C.

Passo 4

Voltando à variável x (ou seja, u=x^3+1), concluímos
\int x^{2}(x^{3}+1)^{10}\,dx = \frac{(x^3+1)^{11}}{33} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(x^3+1)^{11}}{33} + C

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