Encontre a solução geral do sistema x^{\prime}=A x, onde A é a matriz A=\left(\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix}4 & -2\\[6pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é que, para sistemas lineares com matriz constante, a solução geral se obtém encontrando os autovalores \lambda_i de A e os autovetores \mathbf{v}_i, pois
\mathbf{x}(t) = \sum_i C_i\,e^{\lambda_i t}\,\mathbf{v}_i.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A:
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -2\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-2)\cdot1.
Expandindo,
(4-\lambda)(1-\lambda) +2 = 4 -4\lambda -\lambda +\lambda^2 +2 = \lambda^2 -5\lambda +6.]

Passo 3

Analisando a equação
\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0,
temos as raízes
\lambda_1 = 2 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 3.

Passo 4

Agora achamos os autovetores:
Para \lambda_1=2, resolvemos
(A - 2I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
Da primeira linha vem 2v_1 -2v_2=0, logo v_1 = v_2. Podemos escolher
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=3,
(A - 3I)\mathbf{v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
Da primeira linha vem v_1 -2v_2=0, logo v_1 = 2v_2. Podemos escolher
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como \lambda_1 e \lambda_2 são distintos, a solução geral é
\mathbf{x}(t) = C_1\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{3t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{\mathbf{x}(t) = C_1\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\,e^{3t}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.}

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