Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é indicada quando a integranda é produto de duas funções (aqui um polinômio e uma função trigonométrica). A fórmula de integração por partes é:
onde:
-
é uma função escolhida (depende do problema), -
é a outra parte da integranda em forma diferencial, -
é a derivada de multiplicada por (ou seja ), -
é uma primitiva de (ou seja ).
Explicando com cuidado: ao aplicar essa fórmula numa integral definida
obtemos
onde
. A escolha de
e
costuma seguir a heurística LIATE (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential) — polinômios (algebraic) normalmente escolhe-se como
porque derivam para algo mais simples.
Passo 3
Aplicando integração por partes à integral original, escolho
Então
Usando a fórmula para integrais definidas:
Simplificando sinais:
Calculo o termo de fronteira
:
pois
e
. Portanto, definindo
temos até agora
Passo 4
Agora calculo
também por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Avalio os termos. Primeiro
, porque
. Em seguida
Portanto
Passo 5
Volto à expressão anterior:
Dica rápida: para integrais do tipo
ou
costuma-se aplicar integração por partes repetidas (ou método tabular) escolhendo sempre
como o polinômio até reduzir o expoente.