Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} x^{2} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é x^{2}\operatorname{sen}(x).
  • Os limites de integração são 0 e \pi.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes, que é indicada quando a integranda é produto de duas funções (aqui um polinômio e uma função trigonométrica). A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = \bigl[u\,v\bigr] - \int v\,du,
onde:
  • u é uma função escolhida (depende do problema),
  • dv é a outra parte da integranda em forma diferencial,
  • du é a derivada de u multiplicada por dx (ou seja du = u'(x)\,dx),
  • v é uma primitiva de dv (ou seja \dfrac{d}{dx}v = dv/dx).
Explicando com cuidado: ao aplicar essa fórmula numa integral definida \int_{a}^{b} u\,dv obtemos
\int_{a}^{b} u\,dv = \bigl[u\,v\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du,
onde \bigl[u\,v\bigr]_{a}^{b}=u(b)v(b)-u(a)v(a). A escolha de u e dv costuma seguir a heurística LIATE (Log, Inverse trig, Algebraic, Trig, Exponential) — polinômios (algebraic) normalmente escolhe-se como u porque derivam para algo mais simples.

Passo 3

Aplicando integração por partes à integral original, escolho
u = x^{2},\qquad dv = \operatorname{sen}(x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \operatorname{sen}(x)\,dx = -\cos(x).
Usando a fórmula para integrais definidas:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl[-x^{2}\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \bigl(-\cos(x)\bigr)\,(2x\,dx).
Simplificando sinais:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl[-x^{2}\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} + 2\int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx.
Calculo o termo de fronteira \bigl[-x^{2}\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi}:
\bigl[-x^{2}\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\pi^{2}\cos(\pi)\bigr) - \bigl( -0^{2}\cos(0)\bigr) = -\pi^{2}(-1) - 0 = \pi^{2},
pois \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1. Portanto, definindo
J=\int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx,
temos até agora
\int_{0}^{\pi} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = \pi^{2} + 2J.

Passo 4

Agora calculo J=\int_{0}^{\pi} x\cos(x)\,dx também por partes. Escolho
u = x,\qquad dv = \cos(x)\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \cos(x)\,dx = \operatorname{sen}(x).
Aplicando a fórmula:
J = \bigl[x\operatorname{sen}(x)\bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,dx.
Avalio os termos. Primeiro \bigl[x\operatorname{sen}(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \pi\operatorname{sen}(\pi) - 0\cdot\operatorname{sen}(0) = \pi\cdot 0 - 0 = 0, porque \operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(\pi)=0. Em seguida
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos(\pi)\bigr) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.
Portanto
J = 0 - 2 = -2.

Passo 5

Volto à expressão anterior:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx = \pi^{2} + 2J = \pi^{2} + 2(-2) = \pi^{2} - 4.
Dica rápida: para integrais do tipo \int x^{n}\operatorname{sen}(x)\,dx ou \int x^{n}\cos(x)\,dx costuma-se aplicar integração por partes repetidas (ou método tabular) escolhendo sempre u como o polinômio até reduzir o expoente.

Resposta

\pi^{2}-4

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