CALCULE AS INTEGRAIS DEFINIDAS
$\int_{0}^{1} \frac{3}{2 x^{2}+5 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{3}{2x^{2}+5x+2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é uma função racional: numerador \,3\, (constante) e denominador \,2x^{2}+5x+2\, (polinômio quadrático).
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Não há outras condições extras.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador, porque isso costuma facilitar integrais racionais. Vamos fatorar
2x^{2}+5x+2.
Testando fatores inteiros, encontramos
2x^{2}+5x+2 = (2x+1)(x+2).
Confirmando: (2x+1)(x+2)=2x^{2}+4x+x+2=2x^{2}+5x+2. Portanto podemos reescrever a integral como
\int_{0}^{1} \frac{3}{(2x+1)(x+2)}\,dx.

Passo 3

Agora usamos decomposição em frações parciais. A ideia: escrever a fração racional como soma de termos mais simples cuja integral é direta. Como os fatores do denominador são lineares distintos, procuramos constantes A e B tais que
\frac{3}{(2x+1)(x+2)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando os dois lados por (2x+1)(x+2) obtemos a igualdade de polinômios
3 = A(x+2)+B(2x+1).
Para achar A e B é conveniente escolher valores de x que anulem termos:
  • Tomando x=-2 (anula x+2):
3 = A(0)+B(2(-2)+1)=B(-3)\quad\Rightarrow\quad B=-1.
  • Tomando x=-\tfrac{1}{2} (anula 2x+1):
3 = A\!\left(-\tfrac{1}{2}+2\right)+B(0)=A\left(\tfrac{3}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{3/2}=2.
Logo \,A=2 e \,B=-1. Verificação rápida: A(x+2)+B(2x+1)=2x+4-2x-1=3, ok.
Portanto
\frac{3}{(2x+1)(x+2)}=\frac{2}{2x+1}-\frac{1}{x+2}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Lembrança importante (fórmula usada): para constantes a\neq0 e b,
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\!\big|ax+b\big| + C.
Explicação rápida do porquê: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln|ax+b|=\dfrac{a}{ax+b}; daí \int \dfrac{a}{ax+b}\,dx=\ln|ax+b|+C, e dividindo por a obtém-se a fórmula acima.
Aplicando isso aos termos:
\int \frac{2}{2x+1}\,dx = \ln\!\big|2x+1\big| + C,
pois o fator 2 cancela com o 1/2 da fórmula; e
\int \frac{-1}{x+2}\,dx = -\ln\!\big|x+2\big| + C.
Somando, uma primitiva (antiderivada) da função integranda é
F(x)=\ln\!\big|2x+1\big| - \ln\!\big|x+2\big| + C = \ln\!\left(\frac{2x+1}{x+2}\right)+C.

Passo 5

Agora avaliamos a primitiva nos extremos para obter a integral definida:
\int_{0}^{1} \frac{3}{2x^{2}+5x+2}\,dx = F(1)-F(0).
Calcule F(1):
F(1)=\ln\!\left(\frac{2\cdot1+1}{1+2}\right)=\ln\!\left(\frac{3}{3}\right)=\ln 1=0.
Calcule F(0):
F(0)=\ln\!\left(\frac{2\cdot0+1}{0+2}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)= -\ln 2.
Portanto
F(1)-F(0)=0-(-\ln 2)=\ln 2.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida para a prova: quando o denominador de uma integral racional quadrática fatora em termos lineares distintos, sempre tente decomposição em frações parciais; cada termo tem a forma \dfrac{C}{ax+b} cuja integral é \dfrac{C}{a}\ln|ax+b|. Essas duas ideias resolvem muitas integrais desse tipo de forma rápida e sem calculadora. Força aí — dá pra aplicar isso de cabeça numa prova!

Resposta

\ln 2

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