CALCULE AS INTEGRAIS DEFINIDAS
$\int_{0}^{1} \frac{3}{2 x^{2}+5 x+2} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{3}{2x^{2}+5x+2}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
O integrando é uma função racional: numerador \,3\, (constante) e denominador \,2x^{2}+5x+2\, (polinômio quadrático).
O intervalo de integração é [0,1].
Não há outras condições extras.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador, porque isso costuma facilitar integrais racionais. Vamos fatorar
2x^{2}+5x+2.
Testando fatores inteiros, encontramos
2x^{2}+5x+2 = (2x+1)(x+2).
Confirmando: (2x+1)(x+2)=2x^{2}+4x+x+2=2x^{2}+5x+2. Portanto podemos reescrever a integral como
\int_{0}^{1} \frac{3}{(2x+1)(x+2)}\,dx.
Passo 3
Agora usamos decomposição em frações parciais. A ideia: escrever a fração racional como soma de termos mais simples cuja integral é direta. Como os fatores do denominador são lineares distintos, procuramos constantes A e B tais que
Agora integramos termo a termo. Lembrança importante (fórmula usada): para constantes a\neq0 e b,
\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\!\big|ax+b\big| + C.
Explicação rápida do porquê: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln|ax+b|=\dfrac{a}{ax+b}; daí \int \dfrac{a}{ax+b}\,dx=\ln|ax+b|+C, e dividindo por a obtém-se a fórmula acima.
Interpretação final e dica rápida para a prova: quando o denominador de uma integral racional quadrática fatora em termos lineares distintos, sempre tente decomposição em frações parciais; cada termo tem a forma \dfrac{C}{ax+b} cuja integral é \dfrac{C}{a}\ln|ax+b|. Essas duas ideias resolvem muitas integrais desse tipo de forma rápida e sem calculadora. Força aí — dá pra aplicar isso de cabeça numa prova!