CALCULE AS INTEGRAIS DEFINIDAS
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
O que precisamos obter: o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando usando uma divisão algébrica simples: escrever o numerador como combinação do denominador mais um resto. Seja D(x)=x^{2}+x+1. Observamos que
x^{2}-x = 1\cdot D(x) + (-2x-1),
pois
1\cdot D(x) + (-2x-1) = (x^{2}+x+1)-2x-1 = x^{2}-x.
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\frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1} = \frac{1\cdot D(x) + (-2x-1)}{D(x)} = 1 - \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.

Passo 3

Agora substituímos essa expressão na integral e separamos em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}\,dx = \int_{0}^{1} 1\,dx \;-\; \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx.

Passo 4

Calculamos a primeira integral imediatamente:
\int_{0}^{1} 1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1-0 = 1.

Passo 5

Para a segunda integral note que o numerador é exatamente a derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+x+1\bigr) = 2x+1.
Recorde (fórmula importante): se F(x)=\ln|g(x)| então F'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}. Em outras palavras,
\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C.
Aplicando isso com g(x)=x^{2}+x+1 temos
\int \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr) + C,
pois x^{2}+x+1>0 para todo x, então podemos omitir as barras de valor absoluto neste intervalo.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida da segunda parcela:
\int_{0}^{1} \frac{2x+1}{x^{2}+x+1}\,dx = \bigl[\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)\bigr]_{0}^{1} = \ln\bigl(1^{2}+1+1\bigr) - \ln\bigl(0^{2}+0+1\bigr) = \ln 3 - \ln 1.
Como \ln 1 = 0, isso vale \ln 3.

Passo 7

Juntando os resultados das parcelas:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x+1}\,dx = 1 - \ln 3.

Resposta

1-\ln 3

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