CALCULE AS INTEGRAIS DEFINIDAS
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função racional
. - Os limites de integração são
e .
O que precisamos obter: o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando usando uma divisão algébrica simples: escrever o numerador como combinação do denominador mais um resto. Seja
. Observamos que
pois
Logo
Passo 3
Agora substituímos essa expressão na integral e separamos em duas integrais mais simples:
Passo 4
Calculamos a primeira integral imediatamente:
Passo 5
Para a segunda integral note que o numerador é exatamente a derivada do denominador:
Recorde (fórmula importante): se
então
. Em outras palavras,
Aplicando isso com
temos
pois
para todo
, então podemos omitir as barras de valor absoluto neste intervalo.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida da segunda parcela:
Como
, isso vale
.
Passo 7
Juntando os resultados das parcelas: