Encontre a área limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área limitada pelas curvas dadas. As informações fornecidas são:
- A curva
. - A curva
. - A reta vertical
.
O objetivo é calcular a área da região fechada por essas três curvas.
Passo 2
Precisamos saber onde as duas curvas
e
se intersectam (esses pontos serão fronteiras naturais da região). Para isso resolvemos
Como
exige
, podemos introduzir
(logo
). Substituindo:
Assim
ou
. Voltando para
temos
, então as abscissas de interseção são
e
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Para montar a integral da área precisamos saber qual função está por cima (maior
) em cada intervalo de
. Observações:
- Se
, então , portanto . - Se
, então .
Logo, no intervaloa função superior é e a inferior é . No intervalo a função superior é e a inferior é .
Passo 4
A área pedida é a integral da diferença entre a função superior e a inferior. Como há troca de superioridade em
, dividimos em duas integrais:
Passo 5
Calculemos a primeira integral. Antiderivadas:
Portanto
Passo 6
Agora a segunda integral:
Avaliamos em
e
:
Subtraindo:
Passo 7
Somando as duas parcelas obtemos a área total: