Encontre a área limitada pelas curvas dadas.
y=x^{2}, y=\sqrt{x} e x=4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área limitada pelas curvas dadas. As informações fornecidas são:
  • A curva y=x^{2}.
  • A curva y=\sqrt{x}.
  • A reta vertical x=4.
    O objetivo é calcular a área da região fechada por essas três curvas.

Passo 2

Precisamos saber onde as duas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x} se intersectam (esses pontos serão fronteiras naturais da região). Para isso resolvemos
x^{2}=\sqrt{x}.
Como \sqrt{x} exige x\ge0, podemos introduzir t=\sqrt{x} (logo x=t^{2}). Substituindo:
(t^{2})^{2}=t \quad\Rightarrow\quad t^{4}-t=0 \quad\Rightarrow\quad t(t^{3}-1)=0.
Assim t=0 ou t=1. Voltando para x temos x=t^{2}, então as abscissas de interseção são x=0 e x=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para montar a integral da área precisamos saber qual função está por cima (maior y) em cada intervalo de x. Observações:
  • Se 0<x<1, então x^{1/2}>x>x^{2}, portanto \sqrt{x}>x^{2}.
  • Se x>1, então x^{2}>\sqrt{x}.
    Logo, no intervalo [0,1] a função superior é y=\sqrt{x} e a inferior é y=x^{2}. No intervalo [1,4] a função superior é y=x^{2} e a inferior é y=\sqrt{x}.

Passo 4

A área pedida é a integral da diferença entre a função superior e a inferior. Como há troca de superioridade em x=1, dividimos em duas integrais:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)\,dx+\int_{1}^{4}\big(x^{2}-\sqrt{x}\big)\,dx.Á

Passo 5

Calculemos a primeira integral. Antiderivadas:
\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{2}\,dx=\frac{1}{3}x^{3}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big(\sqrt{x}-x^{2}\big)\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)-0=\frac{1}{3}.

Passo 6

Agora a segunda integral:
\int_{1}^{4}\big(x^{2}-\sqrt{x}\big)\,dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4}.
Avaliamos em x=4 e x=1:
\text{em }x=4:\quad \frac{1}{3}\cdot 4^{3}-\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} =\frac{64}{3}-\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{64}{3}-\frac{16}{3}=\frac{48}{3}=16.
\text{em }x=1:\quad \frac{1}{3}\cdot 1^{3}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}.
Subtraindo:
\int_{1}^{4}\big(x^{2}-\sqrt{x}\big)\,dx=16-(-\tfrac{1}{3})=16+\tfrac{1}{3}=\tfrac{49}{3}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtemos a área total:
\text{Área}=\frac{1}{3}+\frac{49}{3}=\frac{50}{3}.Á

Resposta

\dfrac{50}{3}

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