Verifique se a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
é contínua em (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases}
O que ele pede é verificar se f é contínua em (0,0).
Informações relevantes do enunciado:
  • O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
  • Para (x,y)\neq(0,0), a expressão é \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
  • A continuidade em (0,0) exige que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e seja igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Vamos lembrar, de forma direta e prática, o que significa provar que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Definição útil (em palavras simples): dizer que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 quer dizer que, para qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (ou seja, (x,y) está dentro do disco de raio \delta em torno da origem) então |f(x,y)-0|<\varepsilon.
Estratégia eficiente: uma maneira clássica é escrever x e y em coordenadas polares, porque a distância ao origem aparece naturalmente como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso costuma permitir comparar |f(x,y)| com r e usar o “teorema do aperto” (squeeze) ou um argumento \varepsilon- \delta.

Passo 3

Troca para coordenadas polares. Escrevemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0. Substituindo na expressão de f obtemos:
f(x,y)=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{(r\cos\theta)^{3}}{r^{2}}=r\cos^{3}\theta.

Passo 4

Estimativa do valor absoluto. Da expressão em polares temos
|f(x,y)|=|r\cos^{3}\theta|=r\cdot|\cos^{3}\theta|.
Como |\cos^{3}\theta|\le 1 para todo \theta, segue que
|f(x,y)|\le r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Conclusão via teorema do aperto (squeeze) ou argumento \varepsilon- \delta.
Pelo que acabamos de mostrar, sempre que (x,y)\neq(0,0) vale |f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0, pelo teorema do aperto obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Forma \varepsilon- \delta explícita (opcional mas direta): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então
|f(x,y)-0|=|f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Isso mostra formalmente que o limite é 0.

Passo 6

Concluir sobre continuidade. Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 e f(0,0)=0, segue que f é contínua em (0,0).
Observação intuitiva e calmante: testar algumas trajetórias (por exemplo y=mx que dá limite 0) sugeriria continuidade, mas o argumento em coordenadas polares é forte porque mostra que a queda para 0 não depende da direção \theta — o fator r força tudo a zero quando r\to 0.

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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