O que ele pede é verificar se f é contínua em (0,0).
Informações relevantes do enunciado:
O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
Para (x,y)\neq(0,0), a expressão é \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
A continuidade em (0,0) exige que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e seja igual a f(0,0)=0.]
Passo 2
Vamos lembrar, de forma direta e prática, o que significa provar que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Definição útil (em palavras simples): dizer que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 quer dizer que, para qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta (ou seja, (x,y) está dentro do disco de raio \delta em torno da origem) então |f(x,y)-0|<\varepsilon.
Estratégia eficiente: uma maneira clássica é escrever x e y em coordenadas polares, porque a distância ao origem aparece naturalmente como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso costuma permitir comparar |f(x,y)| com r e usar o “teorema do aperto” (squeeze) ou um argumento \varepsilon-\delta.
Passo 3
Troca para coordenadas polares. Escrevemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0. Substituindo na expressão de f obtemos:
Como |\cos^{3}\theta|\le 1 para todo \theta, segue que
|f(x,y)|\le r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 5
Conclusão via teorema do aperto (squeeze) ou argumento \varepsilon-\delta.
Pelo que acabamos de mostrar, sempre que (x,y)\neq(0,0) vale |f(x,y)|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0, pelo teorema do aperto obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Forma \varepsilon-\delta explícita (opcional mas direta): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então
Concluir sobre continuidade. Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 e f(0,0)=0, segue que f é contínua em (0,0).
Observação intuitiva e calmante: testar algumas trajetórias (por exemplo y=mx que dá limite 0) sugeriria continuidade, mas o argumento em coordenadas polares é forte porque mostra que a queda para 0 não depende da direção \theta — o fator r força tudo a zero quando r\to 0.