Q5.(2,5 pontos) Seja
o sólido obtido rotacionando a região
de
a
em torno do eixo
. Encontreo volume de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
no intervalo de
até
, e pede o volume do sólido
obtido ao girar essa região em torno do eixo
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo em
é . - O eixo de rotação é o eixo
. - Valores das ordens nos extremos (pego da função dada):
- Em
: . - Em
: .
- Em
O que precisamos encontrar:
- O volume
do sólido gerado por rotação descrito acima.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e informal).
- Temos a função dada como
em função de e estamos girando em torno do eixo . Há duas abordagens clássicas: - Método dos discos/aros (washers): exige expressar
em termos de e integrar em . - Método das cascas cilíndricas (shells): usa tiras verticais em
e integra em .
- Método dos discos/aros (washers): exige expressar
- Aqui é muito mais simples usar o método das cascas porque a função já está dada como
; inverter para deixaria as expressões mais complicadas. - Aula rápida do método das cascas: considere uma tira vertical localizada em
com largura infinitesimal . Ao girá-la em torno do eixo , ela gera uma casca cilíndrica de raio , altura e espessura . O volume aproximado dessa casca é área lateral vezes espessura: Portanto o volume total é onde é a altura da região até o eixo de rotação (aqui ) e os limites são , .
Passo 3
Aplicando o método das cascas ao nosso caso:
- A altura da casca é
. - Logo a integral do volume é
Passo 4
Calcular a integral
- Fazemos a substituição útil para integrais com
: seja . Então , ou seja . - Substituindo na integral:
- Integrando
:
- Voltando à variável original
(lembrando ):
Passo 5
Avaliar a integral definida e obter o volume.
- Usando o antiderivado obtido,
- Calcular os valores em cada limite:
- Em
: . - Em
: .
- Em
- Substituindo:
- Podemos escrever de forma equivalente:
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo.
- O volume do sólido é
. Mandou bem por trazer a questão — essa integral de cascas é um clássico e a substituição resolve direto. Se quiser, posso mostrar o mesmo cálculo usando discos/aros (em ) para comparar; a resposta tem que dar a mesma coisa.