Q5.(2,5 pontos) Seja V o sólido obtido rotacionando a região
y=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}
de x=1 a x=\sqrt{8} em torno do eixo y. Encontreo volume de V.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y=\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}
no intervalo de x=1 até x=\sqrt{8}, e pede o volume do sólido V obtido ao girar essa região em torno do eixo y.
Informações fornecidas:
  • A função é y=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}.
  • O intervalo em x é \,1\le x\le\sqrt{8}.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
  • Valores das ordens nos extremos (pego da função dada):
    • Em x=1: y(1)=\dfrac{1}{\sqrt{9-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.
    • Em x=\sqrt{8}: y(\sqrt{8})=\dfrac{1}{\sqrt{9-8}}=\dfrac{1}{1}=1.
O que precisamos encontrar:
  • O volume V do sólido gerado por rotação descrito acima.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e informal).
  • Temos a função dada como y em função de x e estamos girando em torno do eixo y. Há duas abordagens clássicas:
    • Método dos discos/aros (washers): exige expressar x em termos de y e integrar em y.
    • Método das cascas cilíndricas (shells): usa tiras verticais em x e integra em x.
  • Aqui é muito mais simples usar o método das cascas porque a função já está dada como y(x); inverter para x(y) deixaria as expressões mais complicadas.
  • Aula rápida do método das cascas: considere uma tira vertical localizada em x com largura infinitesimal \,dx. Ao girá-la em torno do eixo y, ela gera uma casca cilíndrica de raio x, altura h(x)=y(x) e espessura dx. O volume aproximado dessa casca é área lateral vezes espessura: dV \approx \text{(circunferência)}\times\text{(altura)}\times\text{(espessura)} = 2\pi x\cdot h(x)\cdot dx.êPortanto o volume total é V = 2\pi\int_{x=a}^{x=b} x\,h(x)\,dx,onde h(x) é a altura da região até o eixo de rotação (aqui h(x)=y(x)) e os limites são a=1, b=\sqrt{8}.

Passo 3

Aplicando o método das cascas ao nosso caso:
  • A altura da casca é h(x)=y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}.
  • Logo a integral do volume é
V=2\pi\int_{1}^{\sqrt{8}} x\cdot\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral
\int x\cdot\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx.
  • Fazemos a substituição útil para integrais com 9-x^{2}: seja \,u=9-x^{2}. Então \,du=-2x\,dx, ou seja \,x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,du.
  • Substituindo na integral:
\int x\cdot\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{\sqrt{u}} = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} = -\tfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
  • Integrando u^{-1/2}:
-\tfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot 2 u^{1/2} + C = -\sqrt{u}+C.
  • Voltando à variável original x (lembrando u=9-x^{2}):
\int x\cdot\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{9-x^{2}} + C.

Passo 5

Avaliar a integral definida e obter o volume.
  • Usando o antiderivado obtido,
V = 2\pi\left[ -\sqrt{9-x^{2}}\right]_{x=1}^{x=\sqrt{8}}.
  • Calcular os valores em cada limite:
    • Em x=\sqrt{8}: \sqrt{9-(\sqrt{8})^{2}}=\sqrt{9-8}=\sqrt{1}=1.
    • Em x=1: \sqrt{9-1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Substituindo:
V = 2\pi\Big( -1 -\big(-2\sqrt{2}\big)\Big) = 2\pi\big(-1+2\sqrt{2}\big).
  • Podemos escrever de forma equivalente:
V = 2\pi(2\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}\,\pi-2\pi.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo.
  • O volume do sólido é \displaystyle 2\pi(2\sqrt{2}-1). Mandou bem por trazer a questão — essa integral de cascas é um clássico e a substituição u=9-x^{2} resolve direto. Se quiser, posso mostrar o mesmo cálculo usando discos/aros (em y) para comparar; a resposta tem que dar a mesma coisa.

Resposta

\displaystyle 2\pi(2\sqrt{2}-1)

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