Calcule as integrais definidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais definidas:
Informações dadas: os integrandos são funções valor absoluto, os intervalos de integração são
e
. Não há mais condições adicionais nem parâmetros desconhecidos.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e como integrá-lo (aula rápida e prática).
A função valor absoluto tem a definição por partes:
A função valor absoluto tem a definição por partes:
Quando integrarmos
num intervalo, a ideia é achar os pontos onde
(esses são os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal), dividir o intervalo nesses pontos e integrar
em subintervalos onde
e integrar
onde
. Isso transforma a integral de valor absoluto em soma de integrais de funções simples (sem valor absoluto). Essa é a técnica que vamos aplicar passo a passo.]
Passo 3
Resolver
.
Primeiro encontro o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto zera: . Então divido o intervalo
em
e
.
Primeiro encontro o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto zera:
- Em
temos , portanto . Assim
Calculo a primitiva: uma primitiva de
é
. Avaliando nos extremos,
Agora calculo o termo:
, então
. Portanto
- Em
temos , portanto . Assim
Uma primitiva de
é
. Avaliando,
Somando as duas partes,
Passo 4
Interpretação rápida (ajuda a ter confiança): graficamente
é uma forma de “V” com vértice em
. A integral definida entre
e
é a área entre essa curva e o eixo
; a parte à esquerda de
contribui com área
e a parte à direita com
, total
. Isso verifica o cálculo anterior.
Passo 5
Resolver
.
Primeiro achei o zero da expressão interna: dá
. Então divido o intervalo
em
e
.
Primeiro achei o zero da expressão interna:
- Em
temos então e . Portanto
Uma primitiva de
é
. Avaliando,
Calculando os valores: em
temos
. Em
temos
. Subtraindo,
- Em
temos então e . Assim
Uma primitiva de
é
. Avaliando,
Em
temos
. Em
temos
. Subtraindo,
Somando as duas partes,
Passo 6
Confirmação rápida por geometria (opcional, mas reconfortante): a função
é um “V” com vértice em
. As duas áreas calculadas correspondem a polígonos simples (um trapézio/triângulo de área
e outro de área
), totalizando
. Isso bate com os cálculos formais.