Calcule as integrais definidas.
\int_{-2}^{5}|x| d x, \int_{-1}^{4}|2 x-4| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas:
\int_{-2}^{5}|x|\,dx,\qquad \int_{-1}^{4}|2x-4|\,dx.
Informações dadas: os integrandos são funções valor absoluto, os intervalos de integração são [-2,5] e [-1,4]. Não há mais condições adicionais nem parâmetros desconhecidos.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e como integrá-lo (aula rápida e prática).
A função valor absoluto tem a definição por partes:
|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Quando integrarmos |f(x)| num intervalo, a ideia é achar os pontos onde f(x)=0 (esses são os pontos onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal), dividir o intervalo nesses pontos e integrar f(x) em subintervalos onde f(x)\ge0 e integrar -f(x) onde f(x)<0. Isso transforma a integral de valor absoluto em soma de integrais de funções simples (sem valor absoluto). Essa é a técnica que vamos aplicar passo a passo.]

Passo 3

Resolver \displaystyle \int_{-2}^{5}|x|\,dx.
Primeiro encontro o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto zera: x=0. Então divido o intervalo [-2,5] em [-2,0] e [0,5].
  • Em [-2,0] temos x<0, portanto |x|=-x. Assim
\int_{-2}^{0}|x|\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx.
Calculo a primitiva: uma primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando nos extremos,
\int_{-2}^{0}(-x)\,dx = \left[-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-2}^{0} = 0 - \left(-\dfrac{(-2)^{2}}{2}\right).
Agora calculo o termo: (-2)^{2}=4, então -\dfrac{4}{2}=-2. Portanto
\int_{-2}^{0}(-x)\,dx = 0 - (-2) = 2.
  • Em [0,5] temos x\ge0, portanto |x|=x. Assim
\int_{0}^{5}|x|\,dx = \int_{0}^{5}x\,dx.
Uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando,
\int_{0}^{5}x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{5} = \dfrac{5^{2}}{2} - 0 = \dfrac{25}{2}.
Somando as duas partes,
\int_{-2}^{5}|x|\,dx = 2 + \dfrac{25}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{25}{2} = \dfrac{29}{2}.

Passo 4

Interpretação rápida (ajuda a ter confiança): graficamente |x| é uma forma de “V” com vértice em 0. A integral definida entre -2 e 5 é a área entre essa curva e o eixo x; a parte à esquerda de 0 contribui com área 2 e a parte à direita com 25/2, total 29/2. Isso verifica o cálculo anterior.

Passo 5

Resolver \displaystyle \int_{-1}^{4}|2x-4|\,dx.
Primeiro achei o zero da expressão interna: 2x-4=0 x=2. Então divido o intervalo [-1,4] em [-1,2] e [2,4].
  • Em [-1,2] temos x<2 então 2x-4<0 e |2x-4|=-(2x-4)=4-2x. Portanto
\int_{-1}^{2}|2x-4|\,dx = \int_{-1}^{2}(4-2x)\,dx.
Uma primitiva de 4-2x é 4x - x^{2}. Avaliando,
\int_{-1}^{2}(4-2x)\,dx = \left[4x - x^{2}\right]_{-1}^{2}.
Calculando os valores: em x=2 temos 4\cdot2 - 2^{2} = 8 - 4 = 4. Em x=-1 temos 4\cdot(-1) - (-1)^{2} = -4 - 1 = -5. Subtraindo,
\int_{-1}^{2}(4-2x)\,dx = 4 - (-5) = 9.
  • Em [2,4] temos x\ge2 então 2x-4\ge0 e |2x-4|=2x-4. Assim
\int_{2}^{4}|2x-4|\,dx = \int_{2}^{4}(2x-4)\,dx.
Uma primitiva de 2x-4 é x^{2}-4x. Avaliando,
\int_{2}^{4}(2x-4)\,dx = \left[x^{2}-4x\right]_{2}^{4}.
Em x=4 temos 4^{2}-4\cdot4 = 16 - 16 = 0. Em x=2 temos 2^{2}-4\cdot2 = 4 - 8 = -4. Subtraindo,
\int_{2}^{4}(2x-4)\,dx = 0 - (-4) = 4.
Somando as duas partes,
\int_{-1}^{4}|2x-4|\,dx = 9 + 4 = 13.

Passo 6

Confirmação rápida por geometria (opcional, mas reconfortante): a função |2x-4| é um “V” com vértice em x=2. As duas áreas calculadas correspondem a polígonos simples (um trapézio/triângulo de área 9 e outro de área 4), totalizando 13. Isso bate com os cálculos formais.

Resposta

\dfrac{29}{2}
13

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