Questão 11 - Achar a área da região limitada pelos gráficos x=y^{2}-2 y e x=2 y-3.
Dica: integrar em função do y.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em coordenadas (x,y) e pede a área da região limitada por elas. As informações recebidas são:
x = y^{2} - 2y
x = 2y - 3
A dica diz para integrar em função de y. A pergunta que preciso responder é: qual é a área da região limitada pelos dois gráficos acima?

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando pedimos a área de uma região limitada por duas curvas e escolhemos integrar em função de y, a fórmula básica é
\text{área} = \int_{y=a}^{y=b} \bigl(x_{\text{direita}}(y) - x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.á
Aqui x_{\text{direita}}(y) é a função que dá a coordenada x da fronteira direita da região para cada y, e x_{\text{esquerda}}(y) dá a fronteira esquerda. A razão é simples: para cada valor fixo de y nós tomamos o segmento horizontal entre as duas curvas; o comprimento desse segmento é x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}; integrar esse comprimento de y=a até y=b soma (integra) todas essas fatias horizontais, dando a área.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (os limites de integração). Igualamos as duas expressões de x:
y^{2}-2y = 2y-3.
Reorganizando:
y^{2}-4y+3 = 0.
Fatorando:
(y-1)(y-3)=0.
Logo as interseções ocorrem em
y=1 \quad\text{e}\quad y=3.
Portanto os limites de integração serão y=1 até y=3.

Passo 4

Determinar qual curva é a fronteira direita e qual é a esquerda entre y=1 e y=3. Compare as duas funções de x:
x_{\text{reta}}(y)=2y-3,\qquad x_{\text{parábola}}(y)=y^{2}-2y.á
Calcule a diferença
D(y)=x_{\text{reta}}(y)-x_{\text{parábola}}(y)=(2y-3)-(y^{2}-2y)=-y^{2}+4y-3.á
Observação: essa expressão pode ser escrita como
D(y)=-(y-1)(y-3).
Um produto -(y-1)(y-3) é positivo quando y está entre 1 e 3. Por exemplo, em y=2 temos D(2)=1>0. Portanto, para y\in(1,3) temos x_{\text{reta}}(y)>x_{\text{parábola}}(y)á — ou seja, a reta x=2y-3 é a fronteira direita e a curva x=y^{2}-2y é a fronteira esquerda nesse intervalo.

Passo 5

Montar a integral da área usando a fórmula do Passo 2 e a ordem direita-esquerda identificada:
\text{área}=\int_{y=1}^{y=3}\bigl( (2y-3) - (y^{2}-2y)\bigr)\,dy.á
Simplificando o integrando:
(2y-3)-(y^{2}-2y) = -y^{2}+4y-3.
Logo
\text{área}=\int_{1}^{3} \bigl(-y^{2}+4y-3\bigr)\,dy.á

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembra: a antiderivada de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1), e a antiderivada de uma constante c é c y. Aplicando isso:
\int -y^{2}\,dy = -\frac{1}{3}y^{3},
\int 4y\,dy = 2y^{2},
\int -3\,dy = -3y.
Somando as partes, a primitiva do integrando é
F(y) = -\frac{1}{3}y^{3} + 2y^{2} - 3y.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando F(y) de 1 a 3:
Calcule F(3):
F(3) = -\frac{1}{3}\cdot 3^{3} + 2\cdot 3^{2} - 3\cdot 3 = -\frac{27}{3} + 18 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0.
Calcule F(1):
F(1) = -\frac{1}{3}\cdot 1^{3} + 2\cdot 1^{2} - 3\cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}.
Agora a área é F(3)-F(1):
\text{área} = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}.á

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o integrando -y^{2}+4y-3 é não-negativo em [1,3] (é exatamente -(y-1)(y-3)), o que confirma que tomamos corretamente x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}. O valor obtido \dfrac{4}{3} é coerente e é a área procurada.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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