Questão 11 - Achar a área da região limitada pelos gráficos
e
.
Dica: integrar em função do
.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas em coordenadas
e pede a área da região limitada por elas. As informações recebidas são:
A dica diz para integrar em função de
. A pergunta que preciso responder é: qual é a área da região limitada pelos dois gráficos acima?
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando pedimos a área de uma região limitada por duas curvas e escolhemos integrar em função de
, a fórmula básica é
Aqui
é a função que dá a coordenada
da fronteira direita da região para cada
, e
dá a fronteira esquerda. A razão é simples: para cada valor fixo de
nós tomamos o segmento horizontal entre as duas curvas; o comprimento desse segmento é
; integrar esse comprimento de
até
soma (integra) todas essas fatias horizontais, dando a área.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção (os limites de integração). Igualamos as duas expressões de
:
Reorganizando:
Fatorando:
Logo as interseções ocorrem em
Portanto os limites de integração serão
até
.
Passo 4
Determinar qual curva é a fronteira direita e qual é a esquerda entre
e
. Compare as duas funções de
:
Calcule a diferença
Observação: essa expressão pode ser escrita como
Um produto
é positivo quando
está entre
e
. Por exemplo, em
temos
. Portanto, para
temos
— ou seja, a reta
é a fronteira direita e a curva
é a fronteira esquerda nesse intervalo.
Passo 5
Montar a integral da área usando a fórmula do Passo 2 e a ordem direita-esquerda identificada:
Simplificando o integrando:
Logo
Passo 6
Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembra: a antiderivada de
é
(para
), e a antiderivada de uma constante
é
. Aplicando isso:
Somando as partes, a primitiva do integrando é
Passo 7
Avaliar a integral definida usando
de
a
:
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Agora a área é
:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o integrando
é não-negativo em
(é exatamente
), o que confirma que tomamos corretamente
. O valor obtido
é coerente e é a área procurada.