Calcule as integrais definidas.
\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \operatorname{tg}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \operatorname{tg}(2x)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\operatorname{tg}(2x),\qquad\text{limites: }x=0\text{ até }x=\frac{\pi}{8}.é
O objetivo final é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula útil: a primitiva (antiderivada) da função tangente. A tangente pode ser escrita como razão seno sobre cosseno:
\operatorname{tg}(u)=\frac{\sin u}{\cos u}.
Para integrar \operatorname{tg}(u) usamos a substituição t=\cos u. Vou mostrar isso passo a passo para você entender direitinho.

Passo 3

Derivação da primitiva de \operatorname{tg}(u):
Começo com
\int \operatorname{tg}(u)\,du=\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du.
Faço a substituição t=\cos u. Então:
dt = -\sin u\,du \quad\Rightarrow\quad \sin u\,du = -dt.
Substituindo na integral:
\int \frac{\sin u}{\cos u}\,du = \int \frac{-dt}{t} = -\int \frac{dt}{t} = -\ln\!\left|\!t\!\right| + C.
Voltando em u (já que t=\cos u):
\int \operatorname{tg}(u)\,du = -\ln\!\left|\cos u\right| + C.
Aqui C é a constante de integração e o valor absoluto aparece porque o argumento do \ln deve ser positivo; em intervalos onde \cos u>0 podemos remover as barras.

Passo 4

Agora aplico isso ao nosso integrando \operatorname{tg}(2x). Faço a substituição u=2x. Então:
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
A integral indefinida correspondente é
\int \operatorname{tg}(2x)\,dx = \int \operatorname{tg}(u)\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \operatorname{tg}(u)\,du.
Usando a primitiva encontrada no Passo 3:
\int \operatorname{tg}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\left(-\ln\!\left|\cos u\right|\right) + C = -\frac{1}{2}\ln\!\left|\cos(2x)\right| + C.
Isso significa que uma antiderivada de \operatorname{tg}(2x) é -\tfrac{1}{2}\ln\!\left|\cos(2x)\right|.

Passo 5

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida. Se F(x)=-\tfrac{1}{2}\ln\!\left|\cos(2x)\right| é uma primitiva, então
\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \operatorname{tg}(2x)\,dx = F\!\left(\frac{\pi}{8}\right) - F(0).
Substituo F:
F\!\left(\frac{\pi}{8}\right) - F(0) = -\frac{1}{2}\ln\!\left|\cos\!\left(2\cdot\frac{\pi}{8}\right)\right| \;-\; \left(-\frac{1}{2}\ln\!\left|\cos(0)\right|\right).

Passo 6

Calculo os cossenos nos pontos:
2\cdot\frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4},
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos(0)=1.
Substituindo:
-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) -\left(-\frac{1}{2}\ln(1)\right) = -\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{1}{2}\cdot 0.
Portanto a integral vale
-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 7

Agora simplifico \ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right). Observando que \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-1/2}, temos
\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\ln\!\left(2^{-1/2}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2.
Substituindo no resultado do Passo 6:
-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\ln 2\right) = \frac{1}{4}\ln 2.

Resposta

\dfrac{1}{4}\ln 2

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