f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+1, x \leq-1 \\\ x^{2},-1<x<1 \\\\ 2-x, x \geq 1 \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx\) onde a função \(f\) é dada por
\[f(x)=\begin{cases} x+1, & x\leq -1,\\[4pt] x^{2}, & -1<x<1,\\[4pt] 2-x, & x\geq 1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: \;-\] o intervalo de integração é \([-3,2];\n
\;- a função é por partes com mudanças nas fórmulas em x=-1 e x=1 (esses são os pontos onde a expressão de f muda);\n \;- os valores de f em pontos isolados (x=-1 e x=1) não influenciam o valor da integral definida (mas a definição mostra que em -1 usamos x+1 e em 1 usamos 2-x).\n]
Passo 2
Por que podemos dividir a integral e como vamos proceder (aula rápida e prática).
Quando a função é definida por partes e cada parte é integrável nas suas subfaixas, podemos usar a propriedade aditiva da integral definida: se a<c<b então
Isto vale repetidas vezes, então, como a função muda em -1 e 1, vamos partir o intervalo [-3,2] nos subintervalos [-3,-1], [-1,1] e [1,2]. Também vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Então o plano é: 1) separar a integral, 2) encontrar primitivas simples para cada peça, 3) avaliar em cada extremidade e somar os resultados.
Passo 3
Dividindo a integral conforme os pontos de quebra:
Calcular \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
Uma primitiva de x^{2} é G(x)=\dfrac{x^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}. Pelo Teorema Fundamental,
Calcular \displaystyle\int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Uma primitiva de 2-x é H(x)=2x-\dfrac{x^{2}}{2}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(2x-\dfrac{x^{2}}{2}\right)=2-x. Então