Questão 6 - Calcule \int_{-3}^{2} f(x) d x onde
f(x)=\left\{\begin{array}{c} x+1, x \leq-1 \\\ x^{2},-1<x<1 \\\\ 2-x, x \geq 1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle\int_{-3}^{2} f(x)\,dx\) onde a função \(f\) é dada por \[f(x)=\begin{cases} x+1, & x\leq -1,\\[4pt] x^{2}, & -1<x<1,\\[4pt] 2-x, & x\geq 1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
\;-\] o intervalo de integração é \([-3,2];\n
\;- a função é por partes com mudanças nas fórmulas em x=-1 e x=1 (esses são os pontos onde a expressão de f muda);\n
\;- os valores de f em pontos isolados ( x=-1 e x=1) não influenciam o valor da integral definida (mas a definição mostra que em -1 usamos x+1 e em 1 usamos 2-x).\n]

Passo 2

Por que podemos dividir a integral e como vamos proceder (aula rápida e prática).
Quando a função é definida por partes e cada parte é integrável nas suas subfaixas, podemos usar a propriedade aditiva da integral definida: se a<c<b então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx.
Isto vale repetidas vezes, então, como a função muda em -1 e 1, vamos partir o intervalo [-3,2] nos subintervalos [-3,-1], [-1,1] e [1,2]. Também vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Então o plano é: 1) separar a integral, 2) encontrar primitivas simples para cada peça, 3) avaliar em cada extremidade e somar os resultados.

Passo 3

Dividindo a integral conforme os pontos de quebra:
\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = \int_{-3}^{-1} (x+1)\,dx \;+\; \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx \;+\; \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int_{-3}^{-1} (x+1)\,dx.
Primeiro encontramos uma primitiva de x+1. Uma primitiva é uma função cuja derivada é x+1. Sabemos que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+x\right)=x+1,
logo uma primitiva é F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-3}^{-1} (x+1)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-3}^{-1} = \left(\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1)\right) - \left(\frac{(-3)^{2}}{2}+(-3)\right).
Calculemos cada termo passo a passo:
\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2},
\frac{(-3)^{2}}{2}+(-3)=\frac{9}{2}-3=\frac{9-6}{2}=\frac{3}{2}.
Subtraindo,
\int_{-3}^{-1} (x+1)\,dx = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{4}{2} = -2.

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
Uma primitiva de x^{2} é G(x)=\dfrac{x^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}. Pelo Teorema Fundamental,
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Uma primitiva de 2-x é H(x)=2x-\dfrac{x^{2}}{2}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(2x-\dfrac{x^{2}}{2}\right)=2-x. Então
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \left[2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \left(2\cdot 2 - \frac{2^{2}}{2}\right) - \left(2\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2}\right).
Calculemos:
2\cdot 2 - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2,
2\cdot 1 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}.
Subtraindo,
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Somar as três contribuições obtidas:
\int_{-3}^{2} f(x)\,dx = \left(-2\right) + \frac{2}{3} + \frac{1}{2}.
Fazendo a soma com denominador comum 6:
-2 = -\frac{12}{6},\qquad \frac{2}{3}=\frac{4}{6},\qquad \frac{1}{2}=\frac{3}{6}.
Logo
- \frac{12}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{5}{6}.
Portanto o valor final da integral é -\dfrac{5}{6}.

Resposta

-\dfrac{5}{6}

Exercícios relacionados