Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é o polinômio \,x^{4}+x^{2}\,.
  • Os limites de integração são -1 e 1.
  • Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Observação útil sobre a integranda (isso facilita bastante): verifiquemos a paridade da função f(x)=x^{4}+x^{2}. Uma função é par se f(-x)=f(x). Calculando:
f(-x)=(-x)^{4}+(-x)^{2}=x^{4}+x^{2}=f(x).
Logo f é uma função par.

Passo 3

Propriedade de funções pares em intervalos simétricos: se f é par e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Aplicando com a=1, temos
\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx = 2\int_{0}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx.

Passo 4

Agora vamos calcular \int_{0}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx. Usamos a regra básica de potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é um número real (o expoente) e C é a constante de integração quando fazemos primitiva indefinida. Para integrais definidas vamos avaliar a primitiva nos limites.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva de x^{4}+x^{2} é
F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{5}}{5}+\frac{1^{3}}{3}\right) - \left(\frac{0^{5}}{5}+\frac{0^{3}}{3}\right).
Isso dá
\int_{0}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx = \frac{1}{5}+\frac{1}{3}.

Passo 7

Somando as frações:
\frac{1}{5}+\frac{1}{3} = \frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}.
Lembrando do fator 2 pelo uso da paridade (Passo 3), a integral original é
\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+x^{2}\right)\,dx = 2\cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15}.

Resposta

\frac{16}{15}

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