Calcule a integral indefinida das funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de informação:
- Pede-se a integral indefinida da função
. - Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva
tal que . - Informação dada: a expressão explícita de
. Não há outras restrições.
Passo 2
Escolher uma mudança de variável (substituição) que torne a integral mais simples.
- Observação prática: o fator
sugere usar , porque isso transforma a potência em que é fácil de integrar. - Defino a substituição:
- Diferenciando ambos os lados em relação a
:
- Também expresso
em função de (vai ser necessário):
Passo 3
Reescrever a integral em termos de
.
- A integral original é
- Substituindo
, e , obtemos
- Desenvolvendo o produto:
Passo 4
Integrar termo a termo usando a regra da potência para integrais.
- Regra da potência (lembrando que vale para expoente
): para uma variável de integração ,
onde
é a constante de integração.
- Aplicando essa regra aos dois termos:
- Portanto
Passo 5
Voltar para a variável original
substituindo
.
- Substituindo
na primitiva achada:
- Opcional — fatorando
para ver outra forma:
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais direta.
Passo 6
Verificação rápida (checagem por diferenciação) — serve para ganhar confiança:
- Derivando
:
- Logo
que é exatamente a função original. Então a primitiva está correta.