Calcule a integral indefinida das funções:
f(x)=x(x+1)^{2025}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de informação:
  • Pede-se a integral indefinida da função f(x)=x(x+1)^{2025}.
  • Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=x(x+1)^{2025}.
  • Informação dada: a expressão explícita de f(x). Não há outras restrições.

Passo 2

Escolher uma mudança de variável (substituição) que torne a integral mais simples.
  • Observação prática: o fator (x+1)^{2025} sugere usar u=x+1, porque isso transforma a potência em u^{2025} que é fácil de integrar.
  • Defino a substituição:
u = x+1.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x:
du = dx.
  • Também expresso x em função de u (vai ser necessário):
x = u-1.

Passo 3

Reescrever a integral em termos de u.
  • A integral original é
\int x(x+1)^{2025}\,dx.
  • Substituindo x = u-1, (x+1)^{2025}=u^{2025} e dx=du, obtemos
\int x(x+1)^{2025}\,dx = \int (u-1)u^{2025}\,du.
  • Desenvolvendo o produto:
\int (u-1)u^{2025}\,du = \int \bigl(u^{2026}-u^{2025}\bigr)\,du.

Passo 4

Integrar termo a termo usando a regra da potência para integrais.
  • Regra da potência (lembrando que vale para expoente n\neq -1): para uma variável de integração u,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Aplicando essa regra aos dois termos:
\int u^{2026}\,du = \frac{u^{2027}}{2027},\qquad \int u^{2025}\,du = \frac{u^{2026}}{2026}.
  • Portanto
\int \bigl(u^{2026}-u^{2025}\bigr)\,du = \frac{u^{2027}}{2027} - \frac{u^{2026}}{2026} + C.

Passo 5

Voltar para a variável original x substituindo u=x+1.
  • Substituindo u=x+1 na primitiva achada:
F(x)=\frac{(x+1)^{2027}}{2027} - \frac{(x+1)^{2026}}{2026} + C.
  • Opcional — fatorando (x+1)^{2026} para ver outra forma:
F(x)= (x+1)^{2026}\!\left(\frac{x+1}{2027}-\frac{1}{2026}\right)+C.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira é mais direta.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por diferenciação) — serve para ganhar confiança:
  • Derivando F(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{(x+1)^{2027}}{2027}\right)=(x+1)^{2026}, \qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{(x+1)^{2026}}{2026}\right)=(x+1)^{2025}.
  • Logo
F'(x)=(x+1)^{2026}-(x+1)^{2025}=(x+1)^{2025}\bigl((x+1)-1\bigr)=x(x+1)^{2025},
que é exatamente a função original. Então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{(x+1)^{2027}}{2027}-\frac{(x+1)^{2026}}{2026}+C

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