Identifique e esboce as cônicas:
y^2-8 y+9 x+16=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada por y² − 8y + 9x + 16 = 0; o conteúdo é se tratar de uma cônica (parábola) e vamos usar o método de completar o quadrado e a forma canônica de parábolas.

Passo 2

Reunimos os termos em y e completamos o quadrado:
Começamos com
y^2 - 8y + 9x + 16 = 0
Para completar o quadrado em y, vemos que (−8/2)² = 16, então adicionamos e subtraímos 16:
y^2 - 8y + 16 + 9x + 16 - 16 = 0
Agrupando, fica
(y - 4)^2 + 9x + 0 = 0

Passo 3

Isolamos x para ver a forma padrão da parábola:
(y - 4)^2 + 9x = 0 Longrightarrow 9x = - (y - 4)^2 Longrightarrow x = -19(y - 4)^2
Isso mostra que a cônica é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, abrindo para a esquerda.

Passo 4

Reescrevemos na forma canônica padrão (y - k)^2 = 4p(x - h):
(y - 4)^2 = -9,(x - 0)
Comparando, 4p = -9 ⇒ p = -9/4 = -2,25. Assim:
• Vértice: ((h,k) = (0,4).
• Foco: ((h + p, k) = (0 - 9/4, 4) = (-9/4, 4).
• Diretriz: x = h - p = 0 - (-9/4) = 9/4.
• Eixo da parábola: reta horizontal y = 4.

Passo 5

Para esboçar a parábola, marcamos o vértice em (0,4), o foco em (-9/4,4) e a diretriz x = 9/4. Desenhamos uma curva simétrica em relação a y = 4 e que se abre para a esquerda, aproximando-se da diretriz à medida que x cresce.
No esboço, a parábola passa por pontos como ( -9/4, 4 ) (foco interno) e por exemplo, quando y = 5, x = -1/9·1 = -1/9, e quando y = 3, x = -1/9·1 = -1/9, garantindo a forma característica de U invertido. Finalizamos o desenho mostrando esse formato.

Resposta

A curva é uma parábola de equação canônica (y - 4)^2 = -9,x, com vértice em (0,4), foco em (−9/4, 4), diretriz x = 9/4 e eixo horizontal y = 4, abrindo para a esquerda.

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