Calcule as integrais definidas:
integral0^pi / 2(1+cos x) dx

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a integral definida
integral0^pi/2 l(1 + cos xr),dx
Conteúdo: Integrais definidas e antiderivadas.
O que precisamos saber:
  • O Teorema Fundamental do Cálculo (que liga antiderivada à integral definida).
  • Antiderivada de uma constante (1) e de cos x.
  • Propriedade de linearidade da integral (podemos separar soma em soma de integrais).

Passo 2

Primeiro, usamos a linearidade:
integral0^pi/2 (1 + cos x),dx = integral0^pi/2 1,dx ;+; integral0^pi/2 cos x,dx
Isso é permitido porque integral (f+g)=integral f + integral g.

Passo 3

Calcular integral0^pi/2 1,dx.
  • Teoria: a antiderivada de uma constante c é c x.
  • Então
integral 1,dx = x
  • Aplicando os limites de 0 a pi/2:
l[xr]0^pi/2 = pi2 - 0 = pi2

Passo 4

Calcular integral0^pi/2 cos x,dx.
  • Teoria: a antiderivada de cos x é sin x, porque (sin x)' = cos x.
  • Então
integral cos x,dx = sin x
  • Aplicando os limites de 0 a pi/2:
l[sin xr]0^pi/2 = sin!l(tfracpi2r) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Passo 5

Agora soma os dois resultados:
pi2 ;+; 1

Resposta

boxedpi2 + 1

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