Calcule as integrais definidas:
integral0^4(raizx+1raizx) dx

Passo 1

Opa, beleza? Então a gente precisa calcular a integral definida
integral0^4l(raizx+1raizxr),dx
Isso cai em Cálculo (integrais de funções potenciais). Pra resolver, a gente vai precisar de:
  1. Regra da linearidade das integrais ( ).
  2. Regra de potência .
  3. Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 0 a 4.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas:
integral0^4raizx,dx ;+;integral0^41raizx,dx
Isso é tranquilo porque a integral é linear.

Passo 3

Integramos integral x^1/2,dx = x^1/2+1tfrac12+1 = x^3/2tfrac32 = 23,x^3/2 . Note que .
Pela regra de potência, com :

Passo 4

Agora integral x^-1/2,dx = x^-1/2+1-1/2+1 = x^1/2tfrac12 = 2,x^1/2 . Aqui , logo
Só atenção: em isso é impróprio, mas como o expoente , a parte perto de 0 converge sem problemas.

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo em cada parte, avaliando de 0 a 4:
  1. Para l[tfrac23x^3/2r]0^4 = tfrac23l(4^3/2-0^3/2r) = tfrac23cdot8 = tfrac163 :
l[2,x^1/2r]0^4 = 2l(raiz4 - raiz0r) = 2cdot2 = 4
  1. Para :
Somando as duas partes: .

Resposta

integral0^4l(raizx+tfrac1raizxr),dx = 163 + 4 = 16+123 = 283

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