Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=1x^2+1.

Passo 1

Estamos com a função y=1x^2+1. O conteúdo envolvido é o esboço de gráficos de funções racionais, usando transformações da função básica y=1x^2 e identificação de assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio e os limites da função. Como há divisão por x^2, o domínio é xneq0. Quando xto0, 1x^2to+infty e logo yto+infty. Quando xtopminfty, 1x^2to0 e então yto1. Daí surgem as assíntotas vertical x=0 e horizontal y=1.

Passo 3

Em seguida, calculamos alguns pontos para ter forma do esboço. Por exemplo:
x=1 implica y=11^2+1=2.
x=2 implica y=14+1=1,25.
x=0,5 implica y=10,25+1=5.

Passo 4

Como 1x^2 é função par, a curva é simétrica em relação ao eixo y. Logo, teremos dois ramos, um para x>0 e outro para x<0.

Passo 5

Para esboçar, marcamos as assíntotas x=0 (linha vertical) e y=1 (linha horizontal). Em x=1 o ponto (1,2), em x=2 o ponto (2,1,25), e em x=0,5 o ponto (0,5,5). Em cada ramo a curva parte de +infty perto de x=0 e decai assintoticamente até y=1 quando |x| cresce.

Passo 6

Com tudo isso, basta ligar suavemente esses pontos respeitando as assíntotas e a simetria em y.

Resposta

O gráfico tem assíntota vertical em x=0 e horizontal em y=1, apresenta dois ramos simétricos quanto ao eixo y, partindo de +infty perto de x=0 e decaindo até aproximar-se de y=1 conforme |x|toinfty.

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