Calcule as integrais definidas.
integral0^2 raizx^3 d x

Passo 1

Bom, o enunciado pede para calcular a integral definida integral0^2 raizx^3,dx. Esse problema faz parte do conteúdo de integração de funções potência, onde usamos a regra integral x^p,dx = x^p+1p+1 + C. Vamos precisar primeiro simplificar a raiz e depois aplicar essa regra.

Passo 2

Para x>=0, temos
raizx^3 = (x^3)^1/2 = x^3/2
Logo a integral fica integral0^2 x^3/2,dx.

Passo 3

Pela regra de potência, integral x^p,dx = x^p+1p+1+C. Aqui p=3/2, então p+1=5/2. Assim a antiderivada é
integral x^3/2,dx = x^5/25/2 = 25x^5/2

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos nos limites de 0 a 2:
l[tfrac25x^5/2r]0^2 = 25l(2^5/2 - 0^5/2r) = 25,2^5/2

Passo 5

Basta simplificar 2^5/2. Como 2^5/2=2^2cdot2^1/2=4raiz2, obtemos
25,2^5/2 = 25cdot4raiz2 = 8raiz25

Resposta

8raiz25

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