Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas.
integral0^2 2(1+2 x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^2 2(1+2x)^3,dx usando o método de substituição, que é parte do cálculo integral. Vamos precisar reconhecer uma parte da função cuja derivada apareça multiplicando-a, para simplificar a antiderivação.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 1 + 2x. Assim, derivando ambos os lados, temos du = 2,dx, ou seja dx = du2. Também ajustamos os limites: quando x=0, u=1+2cdot0=1; quando x=2, u=1+2cdot2=5.

Passo 3

Substituímos na integral original:
integral0^2 2(1+2x)^3,dx = integralu=1^u=5 2,u^3 cdot du2
O fator 2 e tfrac12 se cancelam, ficando
integral1^5 u^3,du

Passo 4

A seguir, calculamos a antiderivada de u^3, que é tfracu^44. Avaliando de u=1 a u=5 pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
u^44|1^5 = 5^44 - 1^44 = 6254 - 14 = 6244

Resposta

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