Q40.25 Compare os níveis de energia para o átomo de hidrogênio com os níveis de uma partícula em uma caixa e com os níveis do oscilador harmônico. Quais são os valores do número quântico
para o nível fundamental e para o segundo estado excitado de cada um desses sistemas?
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente comparar como são os “números quânticos” (o tal do
) que definem os níveis de energia de três sistemas:
- Átomo de hidrogênio
- Partícula em uma caixa infinita
- Oscilador harmônico quântico
Conteúdo envolvido: mecânica quântica básica – explicaremos as fórmulas de energia de cada sistema e como identificamos o nível fundamental (o mais baixo) e o segundo estado excitado (o terceiro nível, contando do zero ou do um, dependendo do caso). Vamos precisar saber as expressões de
e em que valor mínimo de
cada sistema começa.
Passo 2
Átomo de hidrogênio
- A fórmula da energia é
onde . - Como o menor
válido é , esse é o nível fundamental. - O “segundo estado excitado” significa que você pula dois níveis acima do fundamental:
- Fundamental:
- Primeiro excitado:
- Segundo excitado:
- Fundamental:
Passo 3
Partícula em uma caixa infinita (tamanho
)
- A fórmula típica é
com . - Aqui também o menor
é , que dá o nível fundamental. - Seguindo a mesma lógica de “pular dois níveis”:
- Fundamental:
- Primeiro excitado:
- Segundo excitado:
- Fundamental:
Passo 4
Oscilador harmônico quântico
- A energia é dada por
onde agora . - O menor valor de
é zero: é o nível fundamental (energia zero-point). - Para o segundo excitado (pulamos dois níveis acima do 0):
- Fundamental:
- Primeiro excitado:
- Segundo excitado:
- Fundamental:
Resposta
Átomo de hidrogênio:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
Partícula em caixa infinita:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
Oscilador harmônico quântico:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado: