Q40.25 Compare os níveis de energia para o átomo de hidrogênio com os níveis de uma partícula em uma caixa e com os níveis do oscilador harmônico. Quais são os valores do número quântico n para o nível fundamental e para o segundo estado excitado de cada um desses sistemas?

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente comparar como são os “números quânticos” (o tal do ) que definem os níveis de energia de três sistemas:
  1. Átomo de hidrogênio
  2. Partícula em uma caixa infinita
  3. Oscilador harmônico quântico
Conteúdo envolvido: mecânica quântica básica – explicaremos as fórmulas de energia de cada sistema e como identificamos o nível fundamental (o mais baixo) e o segundo estado excitado (o terceiro nível, contando do zero ou do um, dependendo do caso). Vamos precisar saber as expressões de e em que valor mínimo de cada sistema começa.

Passo 2

Átomo de hidrogênio
  1. A fórmula da energia é En = -13,6 eVn^2,onde .
  2. Como o menor válido é , esse é o nível fundamental.
  3. O “segundo estado excitado” significa que você pula dois níveis acima do fundamental:
    • Fundamental:
    • Primeiro excitado:
    • Segundo excitado:

Passo 3

Partícula em uma caixa infinita (tamanho En = hbar^2 pi^2 n^22mL^2,)
  1. A fórmula típica é com .
  2. Aqui também o menor é , que dá o nível fundamental.
  3. Seguindo a mesma lógica de “pular dois níveis”:
    • Fundamental:
    • Primeiro excitado:
    • Segundo excitado:

Passo 4

Oscilador harmônico quântico
  1. A energia é dada por En = hbaromegal(n + tfrac12r),onde agora .
  2. O menor valor de é zero: é o nível fundamental (energia zero-point).
  3. Para o segundo excitado (pulamos dois níveis acima do 0):
    • Fundamental:
    • Primeiro excitado:
    • Segundo excitado:

Resposta

Átomo de hidrogênio:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
Partícula em caixa infinita:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:
Oscilador harmônico quântico:
• Nível fundamental:
• Segundo estado excitado:

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