Calcule as integrais definidas:
integral0^2 x e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^2 x e^2x , dx. Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos uma integral que é o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

Na nossa integral integral x e^2x , dx, vamos escolher:
u = x e dv = e^2x , dx
Isso significa que teremos que calcular du e v:
du = dx (derivando $u$)
v = integral e^2x , dx = e^2x2 (integrando $dv$)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x e^2x , dx = u , v - integral v , du
= x cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot dx
= x e^2x2 - 12 integral e^2x , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral restante:
integral e^2x , dx = e^2x2 + C
Então, substituindo de volta:
x e^2x2 - 12 cdot e^2x2 = x e^2x2 - e^2x4

Passo 6

Agora, precisamos calcular o valor dessa expressão no intervalo de 0 a 2:
[ x e^2x2 - e^2x4 ]0^2
Primeiro, avaliamos em x = 2:
2 e^42 - e^44 = e^4 - e^44 = 3 e^44
Depois, avaliamos em x = 0:
0 cdot e^02 - e^04 = 0 - 14 = -14

Resposta

Portanto, o valor da integral definida é:
3 e^4 + 14

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