Para quais valores de a é verdade que
lim x infty(x+ax-a)^x=e ?

Passo 1

Estamos lidando com um limite do tipo exponencial envolvendo a expressão l(x+ax-ar)^x. O conteúdo é limites de funções exponenciais e vamos usar a transformação logarítmica e expansão em série de Taylor para ln.

Passo 2

Escrevemos o limite como exponencial de um logaritmo: primeiro definimos
L = limxtoinfty l(x+ax-ar)^x
então
ln L = limxtoinfty x lnl(x+ax-ar)

Passo 3

Para tratar o logaritmo, note que
lnl(x+ax-ar) = lnl(1+tfracaxr) - lnl(1-tfracaxr)
Usando a série de Taylor para ln(1+u) e ln(1-u) com u = a/x, temos
ln(1+u)-ln(1-u) = 2u + O(u^3) = 2ax + Ol(x^-3r)

Passo 4

Multiplicando por x, o argumento do limite fica
x cdot lnl(x+ax-ar) = xl(2ax + O(x^-3)r) = 2a + O(x^-2)
Assim
ln L = limxtoinftyl(2a + O(x^-2)r) = 2a
e portanto
L = e^2a

Passo 5

Para que o limite seja e, precisamos de
e^2a = e Longrightarrow 2a = 1 Longrightarrow a = tfrac12

Resposta

a = tfrac12

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